精品解析：辽宁葫芦岛市第一高级中学2026-2027学年高一上学期期中检测数学试题

高一数学学科检测 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案字母涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案字母.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 2或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，代入 的值逐次求解即可. 【详解】当时，，，所以； 当时，，所以. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含全称量词命题的否定表示规则即可得出答案. 【详解】命题“”的否定是“”.所以选项D正确. 3. 已知集合，且，则实数的值为（） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合集合中元素的性质，分与讨论即可得. 【详解】因为，所以或，解得：或； 当时，，不满足元素互异，舍去； 当时，，满足题意； 综上所述，的值为. 4. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，又，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的性质结合函数的单调性，分区间讨论计算即可. 【详解】由题意可知，且在上单调递增， 不等式成立的条件为两个因式同号或其中一个因式为0， 分两类讨论： 当，即时，此时需满足， 由于在上单调递减，且， 因此当时，符合条件； 当，即时， 结合函数定义域，此时，需满足， 由于在上单调递增，且， 因此当时，，符合条件； 综上所述，不等式的解集为. 5. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 20 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集个数确定集合的元素个数，结合判别式消元再根据基本不等式计算即可. 【详解】由题意知集合仅有1个元素，则，即， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 6. 已知函数存在最大值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：， 当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：，由于，此时无解， 综上：a的取值范围是 7. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用题设条件得到函数的解析式，进而可得在上单调递增，再结合函数是偶函数，可得不等式等价于，由此即可得到的取值范围． 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数，所以，， 即，， 所以，所以，，所以， 又，所以，解得，所以， 当时，单调递减，故在上单调递增， 所以由可得， 故只需，所以，即，解得或， 因此实数的取值范围为． 8. 对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若是一次函数，且满足，则 =3x+4 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，先求函数的定义域，再结合相等函数的条件分析；选项B，利用待定系数法求函数解析式；选项C，利用抽象函数定义域求解即可；选项D，利用分式函数的性质求解值域即可. 【详解】对于A，对函数，有，解得，即其定义域为， 对函数，有，解得或， 即其定义域为， 故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数，故A错误； 对于B，设， 则有， 即，则，解得：， 故，故B错误； 对于C，由函数的定义域为，则对函数，有， 解得，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，由函数的定义域为， 所以，所以 故函数的值域为，故D正确. 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 实数是成立的充分不必要条件 B. 若，，则 C. “对，恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质，充分条件、必要条件的判断分析；选项B，取特殊值分析；选项C，利用不等式恒成立，基本不等式求最值，充分条件、必要条件的判断分析；选项D，利用对勾函数性质求最值分析即可. 【详解】对于A，由，可得，即充分性成立； 若，则，但不成立，所以必要性不成立，故A正确； 对于B，当时，满足， 但此时，不成立，故B错误； 对于C，当时，， 当且仅当，即时等号成立， 若恒成立，则， 所以“对恒成立”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，由题意得，则， 令，则化为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以，即的最小值为，故D错误. 11. 已知定义在上的函数满足，且，时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法，令，可得，判断A；由题意可得函数的单调性，由此判断B；先利用赋值法得到函数的奇偶性，再判断的奇偶性，即可判断C；根据的奇偶性及单调性讨论当和时，的符号，进而判断D. 【详解】对于A，因为定义在上的函数满足， 令，得，所以，故A正确； 对于B，，当时，， 所以当时，，，即， 所以函数在上单调递减，则，故B正确； 对于C，令，则，即， 所以函数是奇函数，令，定义域为， 则，所以是偶函数，故C正确； 对于D，因为函数在上单调递减，且是奇函数， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，；当时，，， 因此，若，则，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，满足，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将所求式表示为已知两个代数式的线性组合，利用不等式的性质求出上下界，再验证区间内各值均可取得. 【详解】由，得，与相加， 得，即. 因此，的取值范围是. 13. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为_________ 【答案】和 【解析】 【分析】根据函数解析式以及偶函数性质，利用对称性可求得单调减区间. 【详解】当时，，二次函数开口向上，对称轴为直线； 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 又因为函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 综上可知，函数在上的单调减区间为和. 14. 设、、、均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的______条件．（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充分也非必要”） 【答案】必要非充分 【解析】 【详解】设，则， 所以， 当时，，此时， 所以“”推不出“”． 当时，有同号，且，可以推出， 综上所述“”是“”的必要非充分条件． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意得出，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 因为全集，所以，故. 【小问2详解】 由得：，因为，则，所以，则， 由得，解得，即实数的取值范围为. 16. 已知二次函数满足，且： （1）求的解析式； （2）若函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． （3）若在区间上，的值域为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先设二次函数再应用待定系数法得出函数解析式； （2）将条件转化为恒成立，再根据列不等式求参； （3）结合二次函数性质及单调性根据已知值域列不等式组求参. 【小问1详解】 设二次函数，由题意知：， 整理得，解得， . 【小问2详解】 若函数的图象恒在图象的上方，则恒成立，即恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以其图象的对称轴为直线，当时，； 因为当时，，由二次函数性质可知，解得， 所以的取值范围是. 17. 高小新参加振兴乡村种植有机蔬菜的调研，根据市场调查数据，种植有机蔬菜需投入年固定成本3万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本W万元．在年产量不足8万斤时，； 在年产量不小于8万斤时，； 每斤有机蔬菜售价为8元，假设种植的有机蔬菜当年能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）高小新利用所学的知识提醒农民要注意控制年产量规模，以免亏损.根据他的判断，求出年产量的范围； （3）年产量为多少万斤时，农民在这一年种植有机蔬菜获得年利润最大.最大年利润是多少？ 【答案】（1），（的单位：万斤）. （2）年产量范围为（单位：万斤） （3）年产量为5万斤或12万斤时年利润最大，最大年利润为16万元 【解析】 【分析】（1）小问由题意分类讨论和时利润关于的解析式； （2）小问，不亏损，即，当时，解不等式；当时，解不等式即可； （3）小问当时，求二次函数的最大值；当时，利用基本不等式求的最大值即可. 【小问1详解】 当时，，则， 整理得，； 当时，，则， 整理得，， 所以，（的单位：万斤）. 【小问2详解】 要想不亏损，则， 当时，，解得， 结合，可得； 当时，， 两边同乘正数，可得，则， 解得，结合，可得； 综上所述，农民以免亏损则年产量的范围为即，（单位：万斤）. 【小问3详解】 当时，，开口向下，对称轴为， 则当时，（万元）； 当时，， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 则， 即当时，（万元）， 综上所述，年产量为5万斤或12万斤时年利润最大，最大年利润为16万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求与的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，证明如下： 由（1）知， 任取，且，即， 则 ， ，，，则，， 因此，函数在区间上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再由可求得； （2）根据单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号，即可得证； （3）根据不等式的恒（能）成立问题，将问题转化为，结合对应的闭区间求最值即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， 则，即，即，得， 则， 又，解得. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意可知． 由（2）知，函数是上的增函数，． ，函数在区间上单调递增，． ，解得，所以． 因此，正实数的取值范围为． 19. 已知函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． （1）若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； （2）若是的“子函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是的“子函数”：理由： 由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可， 因为开口向上，对称轴为， 所以的值域为， 又因为的值域为， 显然，所以是的“子函数”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“子函数”的定义，结合二次函数的性质进行求解即可； （2）根据“子函数”的定义，结合二次函数的性质、反比例函数性质、绝对值函数性质进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， 所以当时，，易得； 当时，，由得，即， 综上：的值域为， 因为，开口向上，对称轴为， 所以当时，，即， 根据子函数的定义得，即，故； 当时，，即， 所以，即，故； 当时，，，故， 所以，解得，故； 当时，，，故， 所以，解得，故； 综上：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科检测 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案字母涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案字母.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 2或3 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，且，则实数的值为（） A. 或 B. C. D. 4. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，又，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 20 D. 9 6. 已知函数存在最大值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若是一次函数，且满足，则 =3x+4 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 实数是成立的充分不必要条件 B. 若，，则 C. “对，恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为 11. 已知定义在上的函数满足，且，时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，满足，且，则的取值范围是__________. 13. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为_________ 14. 设、、、均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的______条件．（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充分也非必要”） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数满足，且： （1）求的解析式； （2）若函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． （3）若在区间上，的值域为，求的取值范围． 17. 高小新参加振兴乡村种植有机蔬菜的调研，根据市场调查数据，种植有机蔬菜需投入年固定成本3万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本W万元．在年产量不足8万斤时，； 在年产量不小于8万斤时，； 每斤有机蔬菜售价为8元，假设种植的有机蔬菜当年能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）高小新利用所学的知识提醒农民要注意控制年产量规模，以免亏损.根据他的判断，求出年产量的范围； （3）年产量为多少万斤时，农民在这一年种植有机蔬菜获得年利润最大.最大年利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求与的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 19. 已知函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． （1）若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； （2）若是的“子函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $