精品解析：福建厦门大学附属科技中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

厦门大学附属科技中学2026—2027学年（上）高一期中考试 数 学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出集合B的元素，由并集定义求解即可. 【详解】解得，又，则， 则， 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件. 【详解】由，解得或， 故由能够推出；由不能够推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的底数，所以在上单调递增， 因为，所以，即； 因为函数的底数满足，因此在上单调递减， 因为，所以，即. 4. 已知幂函数在上单调递增，则函数（，）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数定义得系数为1，再结合在上单调递增确定的值，最后利用指数型函数图象过定点的判断方法求解. 【详解】因为是幂函数，所以，即，解得或， 又在上单调递增，故，所以，于是， 令，即时，，与的取值无关， 所以的图象过定点. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 6. 已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（ ）（参考数据：） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出增长率，再根据指数增长模型列出方程求解. 【详解】设该地区的某种群数量为，根据题意可得， 则， 设经过年增长为原来的2倍，则， 所以， ， 解得. 故选：B. 7. 已知偶函数在上单调递减且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，为偶函数且，则， 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以的解集为的解集为； 或，即或， 解得：或， 故不等式的解集为； 故选：D． 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，易得是上的奇函数且在上单调递增，然后将转化成，然后根据函数的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】令，则， ，是奇函数， ， 因为是上的增函数，是上的减函数， 是上的增函数， 等价于， ， ，即，解得或， 故实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A，不一定能得到，例如，但，错误； 对于B，，正确； 对于C，若，则；若，则，错误； 对于D，若，则即，正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数的单调递增区间是； B. 当时，函数的值域是； C. 函数的图象关于直线对称； D. 若恒成立，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性的判定方法，可判定A正确；根据二次函数和指数函数的性质，可得判定B错误；根据题意，求得，可判定C正确，转化为恒成立，结合指数函数的性质，列出不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，设， 可得在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递减，所以函数的单调递增区间为，所以A正确； 对于B，当时，由A项，可得，所以， 又由在上单调递减，可得， 又因为，所以函数的值域是，所以B错误； 对于C，因为，即， 所以函数的图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，若恒成立，即恒成立， 因为函数在上单调递减，所以，即恒成立， 则满足，解得，所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 关于x的不等式的解集是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合，利用赋值法依次求出即可判断；对于B，通过选项A中的函数值的规律即可判断；对于C，运用定义法证明函数在上的单调性，将代入后，运用函数单调性将其化成一元二次不等式求解即得；对于D，令，代入已知式，根据递推性质即可证明结论. 【详解】对于A，在中，， 取，可得，解得， 再取，可得， 再取，可得，故A正确； 对于B，由A项可知，，故B错误； 对于C， 不妨设，则， 设，则，因当时，，则有， 由可得，即函数在上是增函数. 取易得，则， 故等价于，故得，解得或， 故不等式的解集是，故C正确； 对于D，将都取为，则得， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】，， ， ． 故答案为：． 13. 设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 14. 若在函数的定义域内存在，满足，则称为局部对称函数，点称为它的一个局部对称点．已知函数，且是函数的一个局部对称点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用“局部对称点”的定义得出等量关系，再根据方程有解问题构造函数，利用函数单调性求出函数的最值可求得实数的取值范围. 【详解】依题意可得存在实数满足， 即关于的方程有解即可， 整理可得， 令， 又易知，可知，当且仅当时等号成立； 因此可得关于的方程在上有解即可. 即在上有解， 易知函数在上单调递增，所以，即, 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， ， 或，或， 即. 【小问2详解】 ， “”是“”成立的必要条件，， ，解得， 上述不等式组不能同时取等， 故实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）若不等式解集为，求不等式的解集； （2）已知，若命题“，使得”是假命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由开口方向得到，再用韦达定理把、都表示成的倍数，代入后约去，所求不等式即化为只含的常规二次不等式； （2）存在量词命题为假，其否定为真，再把参数从二次式中分离出来，最后借基本不等式求出右端最大值. 【小问1详解】 由的解集是，得，且与是方程的两个实根， 由韦达定理得，解得， 把、代入，得， 由，得，解得， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 由得，，代入解析式得， 两式相减得，回代第一式得， 命题“，使”是假命题，其否定为真， 把、代入，得在上恒成立， 当时，得，即，不符合； 当时，，，不符合； 故， 由，得，即， 因为，所以， 要对一切成立，只需不小于右端的最大值， 因为，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 故的最大值为，所以， 故的取值范围为. 17. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 【答案】（1），该设备从第2年开始实现总盈利； （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：由（1）知，总盈利额， 当时，取得最大值160， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得， 平均盈利额为 ， 当且仅当，即时等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元． 综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果； （2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断. 【小问1详解】 由题意可得， 由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利． 【小问2详解】 略 18. 设，函数． （1）若函数是奇函数， （i）求的值； （ii）判断函数的单调性并用定义证明； （2）若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】（1）（i）. （ii）在上单调递增， 证明：设，则， 因为在上单调递增，且，所以，， 所以，即，所以在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）判断定义域为，由为奇函数得，解方程即可求出答案，再结合函数奇偶性的定义验证即可； （ii）由定义法设，则，根据在上单调递增，且得出，即可求出答案； （2）由，且在上单调递增，得在上单调递增，根据函数在区间上的值域是，得，，即在区间上有两个不同的实数根，令，即，即关于的一元二次方程有两个不同的正解，由判别式和韦达定理列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 （i）由题可得定义域为，因为为奇函数，所以，解得. 此时，对任意的，，故函数的定义域为， 所以，故函数为奇函数，符合题意. 综上所述，. （ii）略. 【小问2详解】 因为，且在上单调递增，， 所以在上单调递增， 又函数在区间上的值域是， 所以，， 即在区间上有两个不同的实数根， 将通分化简得，， 令，得， 因为，所以关于的一元二次方程有两个不等的正解， 即，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，其中为实数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）给定实数，若存在两个不相等的实数，（且）使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）去绝对值，根据分界点分段讨论，求出函数在每段上的最小值，两段比较即可求得函数的最小值； （2）根据与的相对位置：，，分类讨论求出符合题意的的取值范围，最后取并集即可； （3）去绝对值求出的解析式，数形结合求解，由可知点可能在左侧抛物线上，也可能在右侧射线上，分类讨论，根据可得到之间的关系，代入化简，构造函数求值域即可求解. 【小问1详解】 当时，. 当时，，此时，的最小值为4； 当时，，此时，的最小值为. 因为，所以函数的最小值为. 【小问2详解】 ①当，即时，， 所以，，抛物线的对称轴为直线， 要使在上单调递减，需，解得. ②当，即时， 由知在处连续. （i）在上，，，要使单调递减，需； （ii）在上，，，要使在上单调递减，需，解得. 由上知，当时，满足题意. ③当，即时，， 所以，， 由一次函数的性质可知，在上单调递减，即满足题意. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 所以，又，作出的图象，如图： 由，可知. ①若点也在左侧抛物线上，则， 由抛物线的对称性及可得，所以， 所以. 令， 因为在上均单调递减，所以在上单调递减， 所以的值域为， 而， 所以的值域为. ②若点在右侧射线上，则，由二次函数的对称性可知. 由得，所以， 所以，由得. 令， 由可知均为正数，，所以， 由对勾函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，而， 所以. 由可知均为负数，下面比较两者的大小关系： 因为，所以. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2026—2027学年（上）高一期中考试 数 学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在上单调递增，则函数（，）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（ ）（参考数据：） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 已知偶函数在上单调递减且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数的单调递增区间是； B. 当时，函数的值域是； C. 函数的图象关于直线对称； D. 若恒成立，则. 11. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 关于x的不等式的解集是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________． 13. 设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 14. 若在函数的定义域内存在，满足，则称为局部对称函数，点称为它的一个局部对称点．已知函数，且是函数的一个局部对称点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若不等式解集为，求不等式的解集； （2）已知，若命题“，使得”是假命题，求的取值范围． 17. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 18. 设，函数． （1）若函数是奇函数， （i）求的值； （ii）判断函数的单调性并用定义证明； （2）若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 19. 已知函数，其中为实数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）给定实数，若存在两个不相等的实数，（且）使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $