精品解析：福建三明市明溪县第一中学、清流县第一中学2026-2027学年高一第一学期期中学情调研适应性练习数学试题

2026-2027学年第一学期学情调研适应性练习 高一数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷4页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】是两个集合的公共元素组成的集合，和的公共元素只有3，所以. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题， 则命题，，则是，. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由原不等式得,解得或，即原不等式的解集为. 4. 函数在区间上的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数展开，结合其图象的对称性和单调性即可求得其最值. 【详解】因 可知函数图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增， 又 故当时，取得最大值4；当时，取得最小值0. 故选：D. 5. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数是减函数列出限制条件，求解即可. 【详解】若函数在上单调递减， 则，解得， 即实数的取值范围是. 6. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则， 所以， 可知二次函数开口向下，当时取得最大值，所以函数值域为. 7. 已知函数是上的偶函数，当时，恒成立．若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数是上的偶函数，所以. 当时，恒成立， 所以函数在上单调递减，则，所以. 8. 已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将“对，总，使得成立”转化为在区间上的最大值不大于在区间上的最大值.先求出的最大值，再利用二次函数的性质求出的最大值，列出不等式即可求解. 【详解】因为对，总，使得成立， 所以在区间上，. 对于函数，当时，， 所以在区间上单调递增， 故. 对于函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 因为抛物线开口向上，所以在闭区间上的最大值只能在区间的端点处取得， 即. 所以需满足，即，解得， 综上，的取值范围是. 二、多选题（共3小题，每小题6分，全选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不答得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 记，，则 B. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 C. 与是同一函数 D. 函数定义域为，则的取值范围 【答案】AC 【解析】 【分析】依次根据集合的包含关系、抽象函数定义域、同一函数、二次函数恒成立进行逐一判断即可. 【详解】对于A：集合表示全体奇数，集合表示除以4余1的奇数，所以，故A正确； 对于B：因为函数的定义域是，即，所以， 即，所以，即函数的定义域是，故B错误； 对于C：因为与定义域都是，而，两个函数的对应法则也相同，故为同一函数，故C正确； 对于D：函数定义域为，故恒成立，所以，解得：，故D错误. 10. 若正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是9 D. 的最小值是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式即可确定的最大值；对于B，将代入，结合二次函数的性质求最值；对于C，利用基本不等式“1”的代换有即可求最小值；对于D，将代入，利用基本不等式即可求最小值. 【详解】对于A，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时的最大值为，故A错误； 对于B，， 又，所以当时，有最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 此时有最小值是9，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立， 此时有最小值是5，故D正确. 11. 已知函数，定义，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则必有 C. D. 存在，满足，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数的图象，以及函数的性质求函数的值域，判断A，再结合函数的新定义，判断BCD． 【详解】对于A：当时，单调递增,，时,， 当时，单调递减，，所以函数的值域是,故A正确； 对于B：若，则不存在，使, 即任意，，则为函数的最大值， 因为最大值为3，即,故B错误； 对于C：，且， 所以由单调性可知，，得或， 解得：或，即，故C正确； 对于D：由C可知，当时，,， 由B可知，当时，，， 当，这时，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为_________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域满足，解得， 故的定义域为． 13. 已知函数是上的奇函数，当时，，求函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义直接求解即可． 【详解】当，， 由函数是上的奇函数，得，， 所以， 所以． 14. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得， 即，所以是偶函数. 又对任意，有， 因为，所以，即， 因此在上单调递减， 可得， 两边同时平方化简得，解得， 故解集为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．） 15. 已知集合， （1）时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求得和，再由并集的定义求得； （2）由是成立的充分条件，得，再分和两种情况分析可得. 【小问1详解】 当时,， 由，得或， 所以或； 【小问2详解】 是成立的充分条件，. ①若，则，解得； ②若，由得，解得. 综上所述，的取值范围是或. 16. 已知幂函数是偶函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明． 【答案】（1） （2）在上单调递增， 证明：， 任取，且， 由， 因为，所以，， 则，即. 故在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及偶函数的定义可得； （2）根据单调性的定义判断并证明. 【小问1详解】 函数是幂函数，， 解得或. 当时，，定义域为， 由可得是奇函数，不合题意； 当时，，定义域为， 由，可得是偶函数，符合题意. 故，即函数的解析式为. 【小问2详解】 略 17. 某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式； （2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？ 【答案】（1）；（2）100台时，850万元 【解析】 【分析】（1）利用利润等于销售额减去成本可得利润函数. （2）利用二次函数的性质和基本不等式可求利润的最大值. 【详解】（1）依题意有. （2）当时， 此时时，取得最大值万元； 当时， 当且仅当时，即时，取得最大值万元． 综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元． 【点睛】本题考查函数的应用，一般地，函数应用题应根据题设条件合理构建数学模型，并利用常见函数的性质、导数或基本不等式去求数学模型的最值. 18. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． （3）若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为或； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，判断函数零点和函数图像，列出方程组，求出结果即可； （2）根据参数值写出不等式，进而求出方程的零点，对零点进行分类讨论，写出不同范围内的解集即可； （3）根据不等式恒成立的条件，判断函数的最值，进而列出不等式组，求出参数范围即可. 【小问1详解】 由题意知和3是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，不等式化简为． 可知方程的两个根为， 若，即时，则不等式的解集为或； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为或； 综上所述，当时，所求不等式的解集为或； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为或； 【小问3详解】 当时，不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 定义在上的函数，满足对于任意，成立，且不恒为． （1）求的值，判断的奇偶性，并证明． （2）求证：． （3）如果，．定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以T为周期的周期函数”．试证明：函数是以为周期的周期函数，并求出的值． 【答案】（1） ，函数是偶函数. 证明：令，得，所以. 因为的定义域为，所以函数是偶函数. （2）令，得， 即对任意实数都成立. 用替换，即用替换，可得. （3）因为，对于任意成立， 所以， 所以； 且， 所以. 所以，函数是以3为周期的周期函数 . 【解析】 【分析】（1）直接采用赋值思想，令即可求出的值，令即可得奇偶性； （2）先令，再用替换，即可得结果； （3）先证，再证即可得周期，先求，再求，，结合周期性即可得结果. 【小问1详解】 函数是偶函数，令，得， 即. 因为不恒为，所以，即 证明略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明略 因为，所以，即. 所以. 所以. 由（2）得，. 所以，所以，即，解得或. 因为，所以，所以， 所以. 又， 所以. 因为 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期学情调研适应性练习 高一数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷4页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的偶函数，当时，恒成立．若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，全选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不答得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 记，，则 B. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 C. 与是同一函数 D. 函数定义域为，则的取值范围 10. 若正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是9 D. 的最小值是5 11. 已知函数，定义，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则必有 C. D. 存在，满足，使得 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为_________ 13. 已知函数是上的奇函数，当时，，求函数的解析式为________． 14. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．） 15. 已知集合， （1）时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数是偶函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明． 17. 某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式； （2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？ 18. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． （3）若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； 19. 定义在上的函数，满足对于任意，成立，且不恒为． （1）求的值，判断的奇偶性，并证明． （2）求证：． （3）如果，．定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以T为周期的周期函数”．试证明：函数是以为周期的周期函数，并求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $