精品解析：山东日照市北京路中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年上学期初二年级数学学科期中考试试题 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 生物识别 B. 智能机器人 C. 语音识别 D. 智能手机 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，C，D的图形不能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项B的图形能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形． 2. 现有长度分别是和的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（ ） A. 15 B. 30 C. 50 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出x的范围，判断即可． 【详解】解：由题意，得 ，即， ∴么x的值不能取75． 故选D． 3. 如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 4. 命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（ ） A. 三个角相等的是等边三角形 B. 三个角不相等的三角形不是等边三角形 C. 三个角都相等的三角形是等边三角形 D. 不是等边三角形的三个角不相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是：三个角都相等的三角形是等边三角形. 5. 如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（ ） A. B. C. D. 以上都可以 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 在和 中，利用即可证明，则；然后根据各选项的条件逐项分析即可． 【详解】解：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； A．∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故符合题意； B．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； C．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； 故选D． 6. 如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条高线的交点 D. 分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【解析】 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意得， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，，平分，平分，则线段与一定满足的关系为（ ） A. 只有垂直且平分 B. 只有垂直且平分 C. 与互相垂直且平分 D. 与只垂直但不平分 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，再证明、，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答.  【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， 垂直平分， 同理：，垂直平分， 与互相垂直且平分，即选项C符合题意. 9. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在同一条直线上时，为最小，即为最小， 当点在同一条直线上时，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 当为最小时，， 故选：A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 12. 如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设米琦所在位置为点C，梓青所在位置为点D，过点C作于点M，过点D作于点N，可证，根据全等三角形的性质可知米琦（左）从水平位置垂直上升的高度． 【详解】解：如下图所示，设米琦所在位置为点C，梓青所在位置为点D，过点C作于点M，过点D作于点N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是40． 13. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 14. 如图，在中，，点在边上，，垂足为，且，则的周长为_________． 【答案】 24 【解析】 【分析】利用定理证明，得出，从而求出的长，最后将的周长转化为进行计算． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ． ． ，， ， ∴． 的周长，且， 的周长， ， 的周长． 15. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 三、解答题（共75分） 16. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义和三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ 17. 如图，在和中，，． （1）请添加一个条件________，使； （2）若，且，，求的度数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）的面积是 ； （2）利用网格线画，使它与关于直线l对称； （3）求作一格点P，使的周长为最小值． 【答案】（1） （2）如图所示：即为所求； （3）如图所示：点P即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据割补法计算即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）连接交直线l于点P，根据两点之间线段最短可知点P即为所求． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的周长， 可知点P即为所求． 19. 如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，于，于， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，再证明即可求证； （）证明，得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 【答案】（1） 该广角灯的位置符合要求，理由如下： ，， ． ，， ． 又， ， ， ∴该广角灯的位置符合要求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由全等三角形的性质可得、，易得，进而得到，再结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）由（1）可知，， ，． ， ， ∴，即． ， ， ∴该广角灯的照射角（）的度数为． 21. 如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在中，，于点E， ， 在和中， ， ∴， （2）证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； （3）4 【解析】 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得：， ∴， ． 22. 探究解题 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明； （2）图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； （3）如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．（提示：可延长交延长线于） 【答案】（1）证明：∵平分， ， ， ， 又， （2） （3）， 证明：如图3，延长交延长线于， ∵， ∴． 平分， ， 在和中， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后根据可证明；； （2）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （3）如图3，延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图2所示，延长交于点， 同（1）可得， ，， ， ， ， ∵与同高， ， 的面积为30， ， ， ， 的面积； 【小问3详解】 略． 23. 已知，为等边三角形，点D在边上． 【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连接．请直接写出之间的关系． 【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角．求证：． 【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】基本图形：； 迁移运用：证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴； 类比探究：，理由如下： 过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】基本图形：只需要证明得到，再由即可解答； 迁移运用：过点作，交于点，然后证明得到，即可推出； 类比探究：过点作，交于点，然后证明，得到，再由，即可得到． 【详解】解：基本图形： ∵是等边三角形，等边三角形， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴ ∴，即； 迁移运用：略 类比探究：略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期初二年级数学学科期中考试试题 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 生物识别 B. 智能机器人 C. 语音识别 D. 智能手机 2. 现有长度分别是和的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（ ） A. 15 B. 30 C. 50 D. 75 3. 如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（ ） A. 三个角相等的是等边三角形 B. 三个角不相等的三角形不是等边三角形 C. 三个角都相等的三角形是等边三角形 D. 不是等边三角形的三个角不相等 5. 如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（ ） A. B. C. D. 以上都可以 6. 如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条高线的交点 D. 分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，平分，则线段与一定满足的关系为（ ） A. 只有垂直且平分 B. 只有垂直且平分 C. 与互相垂直且平分 D. 与只垂直但不平分 9. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 12. 如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是_________． 13. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 14. 如图，在中，，点在边上，，垂足为，且，则的周长为_________． 15. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 三、解答题（共75分） 16. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 17. 如图，在和中，，． （1）请添加一个条件________，使； （2）若，且，，求的度数． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）的面积是 ； （2）利用网格线画，使它与关于直线l对称； （3）求作一格点P，使的周长为最小值． 19. 如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 21. 如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 22. 探究解题 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明； （2）图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； （3）如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．（提示：可延长交延长线于） 23. 已知，为等边三角形，点D在边上． 【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连接．请直接写出之间的关系． 【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角．求证：． 【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $