精品解析：山东省日照市东港区曲阜师范大学附属实验学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

山东省日照市东港区曲阜师范大学附属实验学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 一、单选题：共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 如果，那么 C. 若，则，， D. 若，则 3. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 17 B. 13 C. 17或13 D. 12 4. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于 ，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 7. 如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 9. 如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，已知，为的平分线，、、…为的平分线上的若干点．如图1，连接、，图中有1对全等三角形；如图2，连、、、，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 12. 如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则___． 13. 如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 14. 如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为__________． 15. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 16. 如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的个数是______． 三、解答题：本题共7个小题，共72分． 17. 如图，△ABC中三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于y轴对称的； （2）写出三个顶点的坐标为（ ），（ ），（ ）； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请画出P点位置，并直接写出点P的坐标． 18. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 19. 已知，在等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、相交于点F．求的度数． 20. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． （1）若，求的度数． （2）若，的周长为17，求的长． 21. 如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． 22. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）求的取值范围． （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 23. 已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． （1）方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； （2）拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市东港区曲阜师范大学附属实验学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 一、单选题：共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 如果，那么 C. 若，则，， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 3. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 17 B. 13 C. 17或13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，非负数的性质，根据非负数的性质得到，则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：A． 4. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，可得，根据题意得，求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又 ∴ ∴，解得，, ∴， 故选：C． 6. 如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于 ，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图，三角形的面积，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作于， 由尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴的面积为∶． 故选：B． 7. 如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质得到的面积的面积，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短，角平分线的性质． 作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 9. 如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 10. 如图，已知，为的平分线，、、…为的平分线上的若干点．如图1，连接、，图中有1对全等三角形；如图2，连、、、，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，明确题意，准确找出规律是解题的关键，根据题意可得如图1，,共有对全等三角形；如图2：,，，共有对全等三角形；如图3：,,,,,,共有对全等三角形，由此发现规律，即可得到答案． 【详解】解：如图1：∵为的平分线， ∴, ∵, ∴, ∴共对全等三角形； 同理，如图2：,， ∴, ∵, ∴, ∴共对全等三角形； 同理，如图3：,,,,,,共有对全等三角形， 由此发现，第个图形，全等三角形有对， ∴第个图形中有对全等三角形， 故选：B． 二、填空题：本题6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 【答案】60°或30°． 【解析】 【详解】试题解析：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由已知可知，∠ABD=30°， 又BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴∠A=60°， ∴∠ABC=∠C=60°． 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由已知可知，∠ABD=30°， 又BD⊥AC， ∴∠DAB=60°， ∴∠C=∠ABC=30°． 考点：等腰三角形的性质． 12. 如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点， ∴， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 16. 如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的个数是______． 【答案】3个 【解析】 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，结合三角形内角和定理，周角的计算即可判定． 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ，即． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 故答案为：3个． 三、解答题：本题共7个小题，共72分． 17. 如图，△ABC中三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于y轴对称的； （2）写出三个顶点的坐标为（ ），（ ），（ ）； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请画出P点位置，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 如图所示，点P即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查作图轴对称变换、最短距离问题，解题的关键是根据轴对称的性质作出变换后的对应点． （1）分别作出点A，C，B关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）直接写出点的坐标即可； （3）作出点A关于x轴的对称点，再连接，与x轴的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：坐标为． 18. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 19. 已知，在等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、相交于点F．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质以及全等三角形的判定和性质，能够证得三角形全等是解题关键； 由等边三角形的性质得出，，证明，则，即可得解答； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． （1）若，求的度数． （2）若，的周长为17，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴的周长 ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形的外角和内角和定理，等腰三角形的性质． 21. 如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． 【答案】（1） 是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2） 证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）求的取值范围． （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （2）延长交于点F，证明，根据全等性质得，，利用得等腰三角形即可求得答案． 【小问1详解】 证明：延长到点E，使 ∵D是的中点 ∴ 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故 【小问2详解】 延长交于点F，如图 ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴． 23. 已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． （1）方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； （2）拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；；；； （2） 解：猜想，理由如下： 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵在等边中，与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边等知识点： （1）如图3，在上取一点，使，连接，先证明得到，；继而证明得到从而，进一步可证明； （2）如图所示，在延长线上截取，连接，先证明，得到，，继而证明，得到，进一步可证明． 【小问1详解】 解：如图3，在上取一点，使，连接， ∵在等边中，与的角平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；；；；； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $