精品解析：陕西西安工业大学附属中学2026-2027学年度八年级第一学期期中考试数学试卷

2026－2027学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“马”的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三边长分别为a，b，c则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 5. 一次函数与 (、为常数，且)，在同一平面直角坐标系内的图象可能是( ) A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 7. 已知是二元一次方程的解，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 8. 在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上找一点C，使得为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：3_________．（填“ < ”“ > ”或“=”） 10. 已知直线与轴交于点，那么方程的解是______． 11. 已知点在第一、三象限的角平分线上，则____． 12. 如图表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，则弹簧不挂重物时的长度是______． 13. 已知一次函数，若当时，函数有最小值1，则的值为____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，点的坐标为，点为线段上一点，连接，使，则点的坐标为___． 三、解答题（共8小题，计58分） 15. 计算： （1）； （2） ． 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 已知，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中作出关于y轴对称的，并写出的坐标____________； （2）直接写出的边上的高是____________． 18. 定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． （1） ， ． （2）如果，，求的平方根． 19. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 20. 为了鼓励市民节约用水，西安市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 每户每月用水量 及以下 超过不超过的部分 超过的部分 收费标准（元） （1）当时，请写出应交水费（元）与月用水量之间的关系式； （2）某用户月份交水费元，求所用水量． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标． 22. 按要求完成各题： （1）如图1，在中， ，，，点D是边上的动点，则的最小值是_________； （2）如图2，在等腰中，，，点D是边上的一点，且，连接，以为直角边在的右边作等腰，且，求的长： （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接、，点P为y轴正半轴上的一个动点，连接，以为边，在第一象限作等边，连接、，若射线交直线于点Q，当取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包含有限小数和无限循环小数． 【详解】解：∵ ，是整数，属于有理数， 是无限循环小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数． 2. 如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“马”的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意建立直角坐标系，再求出坐标即可． 【详解】解：∵“帅”的位置是，“相”的位置是， ∴建立直角坐标系，如图： ∴“马”的位置可表示为． 3. 已知的三边长分别为a，b，c则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理分析角的情况，利用勾股定理的逆定理分析边长的情况，逐个判断选项即可得到不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、∵，设，，， 又∵三角形内角和为， ∴， 解得， ∴最大角， 故不是直角三角形，A符合题意； B、∵，， ∴，得， 故是直角三角形，B不符合题意； C、∵，设，，， ∴，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，C不符合题意； D、∵， ∴，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，D不符合题意． 4. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图像的特点是解题的关键． 根据一次函数解析式得到，一次函数图像经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴它的图像与轴交于点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴一次函数图像经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数向上平移6个单位，得到一次函数， ∴它的图像与直线平行，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 5. 一次函数与 (、为常数，且)，在同一平面直角坐标系内的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与正比例函数的图象性质，由图象确定、及的符号，判断是否矛盾，即可求解． 【详解】解：由为正比例函数，其图象必过原点 A项：图象经过第二、四象限，则；图象经过第一、二、四象限，则，，此时，符合题意 B项：图象经过第一、三象限，则；图象经过第一、二、四象限，则，，此时，矛盾 C项：图象经过第二、四象限，则；图象经过第一、二、三象限，则，，此时，矛盾 D项：图象经过第一、三象限，则；图象经过第一、三、四象限，则，，此时，矛盾 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质、两点的距离公式，熟记垂直于x轴(或平行于y轴)的直线上的点横坐标相等是解题关键． 根据题意可设，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】轴，， 点A，B的横坐标相等，即点B的横坐标为， 设点， ， ， 解得∶或， 点 B的坐标是或， 故选：C． 7. 已知是二元一次方程的解，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根据二元一次方程的解求参数，把的值代入方程，根据等式的性质变形即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上找一点C，使得为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】按等腰三角形顶点的不同分三类讨论，通过画圆和作垂直平分线找坐标轴上的符合条件的点C，注意去重和排除重合点． 【详解】解：，， ． 分三类讨论： ①当时，以为圆心，为半径画圆． 与轴交于，，均符合条件． 与轴交点满足，解得，舍去与点重合，得． 此类共个有效点． ②当时，以为圆心，为半径画圆． 与轴交于，，其中已计数，新增个． 与轴交点满足，解得，舍去与点重合，得，新增个． 此类共新增个有效点． ③当时，点在的垂直平分线上． 与轴交点满足，解得，已计数，无新增． 与轴交点满足，解得，得，新增个． 此类共新增个有效点． 综上，满足条件的点共有个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：3_________．（填“ < ”“ > ”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，， ∵ ∴， 故答案为：． 10. 已知直线与轴交于点，那么方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴方程的解是． 11. 已知点在第一、三象限的角平分线上，则____． 【答案】 【解析】 【分析】第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，据此建立关于的一元一次方程求解. 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上 ∴该点的横纵坐标相等 ∴ 移项得 解得 12. 如图表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，则弹簧不挂重物时的长度是______． 【答案】##10厘米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象中的数据，可以计算出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关式，然后令求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：设弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为， 则， 解得，， ∴弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为， ∴当时，， 即弹簧不挂物体时的长度为, 故答案为：． 13. 已知一次函数，若当时，函数有最小值1，则的值为____． 【答案】1或 【解析】 【分析】先判断一次项系数的符号，确定函数的增减性，找到给定范围内取得最小值的对应x值，代入解析式列方程求解k即可． 【详解】解：∵对任意实数k，都有， ∴， ∴该一次函数的y值随x的增大而增大， ∵x的取值范围为， ∴时，函数取得最小值1， 将，代入函数解析式，得， 整理得， 解得或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，点的坐标为，点为线段上一点，连接，使，则点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与两坐标轴的交点坐标及确定点、，得到等腰直角三角形；把题给的两个相等角各加上，把条件转化为；过点作交轴于点，则平分，用勾股定理求出，再由角平分线的性质与面积法把与的比转化为与的比，即可求出． 【详解】解：令，得，解得． ∴点的坐标为． 令，得． ∴点的坐标为． 由得，即． ∴． 由点得． 在中，． ∴是等腰直角三角形，． 由，两边各加上，得． ∴． 过点作，交轴于点(如图)． 则． ∴平分． 在中，． 由轴，得． 在中，． 在中，． 由点、、都在轴上，得． 代入，得． 展开得，即． ∴． ∴． 又． ∴． 由平分，点到与的距离相等，记为． 与以、为底时的高都是． ∴与的面积比为． 由轴，以、为底时，这两个三角形的高都是． ∴． 由点在线段上，设)． 则． 由得． 解得． 点在轴负半轴上． ∴点的坐标为． 三、解答题（共8小题，计58分） 15. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】利用代入消元法解方程组即可； 先由方程组整理得，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 将代入，得，解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解：由整理得， ，得，解得， 将代入，得，解得， ∴该方程组的解为． 17. 已知，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中作出关于y轴对称的，并写出的坐标____________； （2）直接写出的边上的高是____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据割补法求出的面积，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：，，关于y轴对称的点分别为，，， 图略 【小问2详解】 解：， ， ∴的边上的高是：． 18. 定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． （1） ， ． （2）如果，，求的平方根． 【答案】（1）3，； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴，， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵2，， ，， ， ， ∴的平方根是． 19. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】先利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再在中用勾股定理求出长度，最后用减去得到的长． 【详解】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 20. 为了鼓励市民节约用水，西安市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 每户每月用水量 及以下 超过不超过的部分 超过的部分 收费标准（元） （1）当时，请写出应交水费（元）与月用水量之间的关系式； （2）某用户月份交水费元，求所用水量． 【答案】（1） （2）该用户月份所用水量为 【解析】 【分析】按用水量的两个阶梯区间，分别根据水费计算规则列函数关系式； 先计算临界用水量的水费，判断元对应的用水量区间，再代入对应关系式求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 化简得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴用水量超过， 当时，， ∵， ∴用水量在到之间， 将代入，得， 解得， 答：该用户月份所用水量为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求解，再进一步利用待定系数法求解解析式即可； （2）设，分当点P在线段上时，当点P在点B左侧时，当点P在点C右侧时，分别进行讨论，利用面积关系列式求解． 【小问1详解】 解：∵，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设，由（1）可得：， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点B左侧时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点C右侧时，不存在； 综上，或； 22. 按要求完成各题： （1）如图1，在中， ，，，点D是边上的动点，则的最小值是_________； （2）如图2，在等腰中，，，点D是边上的一点，且，连接，以为直角边在的右边作等腰，且，求的长： （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接、，点P为y轴正半轴上的一个动点，连接，以为边，在第一象限作等边，连接、，若射线交直线于点Q，当取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂线段最短，结合等面积法求解即可； （2）如图，连接，证明，可得，，再进一步求解即可； （3）如图，把绕顺时针旋转得到，连接，可得，，证明，可得，即点在上运动，当时，最小，如图，过作于，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ，，， ∴， 当时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵以为直角边向右作等腰，使，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：∵等边， ∴，， 如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点，点，点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动， 当时，最小，如图， 过作于， ∵，，，， ∴，，， ∴，， ∴， 同理：，， ∴的面积为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $