精品解析：江苏省扬州中学树人教育集团2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

扬州中学树人教育集团2026年秋学期期中考试 九年级数学 满分：150分，考试时间：120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A. B. C. D. 4. 已知的半径为，点P在外；则的长（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 不大于 5. 如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 7. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 该函数的图象与轴有交点 C. 当时， D. 该函数图象与轴的交点为 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是______． 10. 设，是方程的两个根，则________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，是反比例函数的图象上的一点，则_____________． 12. 博物馆需要修复一面圆形古代铜镜．现有三块残片（如图），其中能配出与原来一样大小的圆形铜镜的残片是________．（填“①”“②”或“③”）． 13. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=100°，则∠BCD=________． 14. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 15. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 16. 如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 17. 已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 18. 如图，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点，连接，点为弧上的动点，连接并延长，交于点，的中点为，连接，已知的半径为5，且，则的最小值为________． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知与成反比例关系，当时，． （1）求与的函数表达式； （2）求时，的值． 21. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 22. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 23. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 25. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 26. 【发现问题】扬州是南水北调东线工程的源头城市，水质监测是“运河水卫士”的日常工作．液体密度测量是水质分析的基本技能——密度计为何能够测量密度?其设计又蕴含着哪些函数知识?某校“运河研学小组”决定就此展开探究． 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自己的重力，重力不变，浮力就不变． 因为，，， 所以，所以，所以． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例． 【解决问题】 （1）研学小组自制一支密度计，将密度计依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在密度计上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量密度计浸入液体的深度，利用收集的数据画出与的关系图象，如图所示．根据图象判断，下列说法正确的是________． A．密度越大，深度越大 B．若，则 C．密度均匀增加时，深度的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 （2）该研学小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下漂浮在不同的液体中时，浸入液体中的高度与液体的密度的函数图象如图所示（）． ①当液体密度从增加到时，高度怎么变化，变化了多少? ②如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 27. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 28. 在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点，，使得点在内，且点在外，则称线段为的“穿越线段”． （1）如图，的半径为2，点，，． ①在的三条边，，中，的“穿越线段”是________； ②点是射线上的一个动点，过点作轴，垂足为，若线段是的“穿越线段”，求点的横坐标的取值范围； （2）已知三条直线，，分别相交于点，，，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“穿越线段”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州中学树人教育集团2026年秋学期期中考试 九年级数学 满分：150分，考试时间：120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点横坐标代入反比例函数中即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将代入解析式，得． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 3. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和 ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：， 即，是反比例函数， 又∵动力臂， 故B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键． 4. 已知的半径为，点P在外；则的长（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 不大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵点P在外，的半径为， ∴ 半径，即． 故选：A． 5. 如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理可得，由弧与圆心角之间的关系可得，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵是的直径，的弦于点E， ∴， ∴， ∴． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键．根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、直径是圆中最长的弦，这是圆的性质，则A正确，不符合题意； 选项B、半圆属于弧，则B正确，不符合题意； 选项C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，则C错误，符合题意； 选项D、圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，这是圆的定义，则D正确，不符合题意； 故选：C． 7. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据各点横坐标判断所在象限，结合函数增减性比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ 点的横坐标为， ∴ 点在第二象限，， ∵ 点、的横坐标分别为、，均大于， ∴ 点、在第四象限，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 8. 已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 该函数的图象与轴有交点 C. 当时， D. 该函数图象与轴的交点为 【答案】D 【解析】 【分析】由函数平移规律得到新函数的图象特征，结合反比例函数的性质逐一判断各选项. 【详解】解：函数的图象由向下平移2个单位得到. ∵当时，中随的增大而减小， ∴平移后时仍随的增大而减小，A错误. 当时，无意义，故该函数图象与轴无交点，B错误. 当时，，则，C错误. 令，得，解得，故该函数图象与轴的交点为，D正确. 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象和性质．此题难度适中． 根据反比例函数所在的象限，判定的符号，即，然后通过解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内 ， 解得，； 故答案为：． 10. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入式子求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，是反比例函数的图象上的一点，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，理解反比例函数比例系数k的几何意义并熟练运用是解题关键． 根据反比例函数比例系数k的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵矩形的面积为2，是反比例函数的图象上的一点， ∴． 故答案为：2 12. 博物馆需要修复一面圆形古代铜镜．现有三块残片（如图），其中能配出与原来一样大小的圆形铜镜的残片是________．（填“①”“②”或“③”）． 【答案】① 【解析】 【详解】解：根据确定圆的条件可知：能配出与原来一样大小的圆形铜镜的残片是①． 13. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=100°，则∠BCD=________． 【答案】130° 【解析】 【详解】∵∠BOD=100° ∴∠A=50° ∠BCD=180°-∠A=130° 故答案是：130°． 14. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 15. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 16. 如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据及矩形性质确定点的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点的坐标；结合和表示出点的坐标；最后利用点在反比例函数图象上建立关于的方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ，且点在点下方， 点的纵坐标为， 四边形是矩形，，且轴， 点的横坐标为，纵坐标与点相同，为， 点的坐标为， 点也在反比例函数的图象上， ， 解得． 17. 已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】弦、可在半径的同侧或异侧，需分两种情况讨论，连接，证明是等边三角形，求出，证明是直角三角形，得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B和点C在半径的同侧时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 如图所示，当点B和点C在半径的异侧时，连接， 同理可得，， ∴； 综上所述，的度数为或． 18. 如图，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点，连接，点为弧上的动点，连接并延长，交于点，的中点为，连接，已知的半径为5，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，，添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下的长度和的半径，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，连接、、，如下图所示： ，， ，， 又为中点， ，即， 点运动轨迹为以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线位于之间）时，长度最小为减去的半径． 连接，，如下图所示： ∵为直径， ∴， ，， 由勾股定理得， ， ， ． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 已知与成反比例关系，当时，． （1）求与的函数表达式； （2）求时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：由题意可设， ∴把，代入得：，解得：， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：与的函数表达式为， ∴把代入得：． 21. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】（1）反比例 （2）这个函数的解析式为； （3）它在该分辨率下的像素密度为． 【解析】 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； 【小问2详解】 解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问3详解】 解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 22. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】26寸 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接， ， 寸， 为的直径，弦，寸， 寸，， 在中，， ， 解得：， 为的直径， 寸． 23. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，结合，得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得，求出，即可得证； （2）利用勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 【点睛】则或． 25. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求： 26. 【发现问题】扬州是南水北调东线工程的源头城市，水质监测是“运河水卫士”的日常工作．液体密度测量是水质分析的基本技能——密度计为何能够测量密度?其设计又蕴含着哪些函数知识?某校“运河研学小组”决定就此展开探究． 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自己的重力，重力不变，浮力就不变． 因为，，， 所以，所以，所以． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例． 【解决问题】 （1）研学小组自制一支密度计，将密度计依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在密度计上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量密度计浸入液体的深度，利用收集的数据画出与的关系图象，如图所示．根据图象判断，下列说法正确的是________． A．密度越大，深度越大 B．若，则 C．密度均匀增加时，深度的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 （2）该研学小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下漂浮在不同的液体中时，浸入液体中的高度与液体的密度的函数图象如图所示（）． ①当液体密度从增加到时，高度怎么变化，变化了多少? ②如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】（1）D （2）①当液体密度从增加到时，高度减少了，减少了；② 【解析】 【分析】（1）根据函数图象逐项分析即可得出结果； （2）①先求出与之间的函数关系为，再求出当时，，作差即可；②求出当时，，再结合函数图象分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：观察图象可得， A．密度越大，深度越小，故该选项错误； B．若，则，故该选项错误； C．密度均匀增加时，深度的变化量不相同，故该选项错误； D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故该选项正确； 【小问2详解】 解：①设与之间的函数关系为， 由图象可得，该函数过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系为， 当时，， ∵， ∴当液体密度从增加到时，高度减少了，减少了； ②由①可得， 当时，，解得， 当时，，解得， 由图象可得，随着的增大而减小， ∵该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为， ∴该密度计能测量的液体密度的范围为． 27. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 28. 在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点，，使得点在内，且点在外，则称线段为的“穿越线段”． （1）如图，的半径为2，点，，． ①在的三条边，，中，的“穿越线段”是________； ②点是射线上的一个动点，过点作轴，垂足为，若线段是的“穿越线段”，求点的横坐标的取值范围； （2）已知三条直线，，分别相交于点，，，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“穿越线段”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①由题意可得与相切，从而得出线段不是的“穿越线段”；求出，，即可得出点在内，点在外，从而得出结果；②设直线在轴上方与交于，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为、，设，则，，故此时点刚好在上，且此时与相切，结合勾股定理求出，再结合函数图象分析即可得出结果； （2）求出，，，再分情况讨论，结合圆的切线的性质，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①如图， ∵点，， ∴，， ∴点在上， ∴与相切， ∴线段上没有点在内， ∴线段不是的“穿越线段”； ∵， ∴，， ∴点在内，点在外， ∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在外， ∴线段不是的“穿越线段”， 线段是的“穿越线段”； ②如图，设直线在轴上方与交于，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为、， 设，则，， 故此时点刚好在上，且此时与相切， ∵的半径为， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可得，当点在之间（不包括端点），即时，线段是的“穿越线段”， 综上所述，当时，线段是的“穿越线段”； 【小问2详解】 解：联立得， 故， 同理可得，， 如图，当恰好经过点时，则， 故， 当恰好与相切于点时，连接， ∵，， ∴，， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，、是的“穿越线段”，不是的“穿越线段”； 当恰好经过点时，则， 故， 当恰好与相切于时，连接，设直线与轴交于， 在中，当时，， 解得， ∴， 此时， ∴， 由切线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，、是的“穿越线段”，不是的“穿越线段； 综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“穿越线段”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $