精品解析：江苏盐城市东台市第三教育联盟2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

江苏省盐城市东台市第三教育联盟2026-2027学年 九年级上学期11月期中数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2027 D. -2026 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 3. 已知一元二次方程的两根分别为．则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 4. 2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在反比例函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 等圆的半径不一定相等 7. 已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，弦直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 10. 方程的解是________________． 11. 已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为__________． 12. 在压力一定的情况下，压强与受力面积是反比例函数关系，某木块竖直放置在水平地面上，受力面积时，；若受力面积为，则它对地面的压强为_________． 13. 如图，半径为2，弦，若弦，则的度数为_____________ ． 14. 等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为____________． 15. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________． 16. 如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 解方程： （1） （2） （3）； （4）． 18. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2） 20. 某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米； （2）据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 21. 已知， （1）化简T； （2）若点在反比例函数的图象上，求T的值． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 23. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． （1）求的值； （2）点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 24. 团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． （1）该圆形团扇的半径为______； （2）求该长方体盒子的长． 25. 如图，设是一个锐角三角形，且，圆为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，为圆直径，M为线段上一动点且满足． （1）证明：M为的中点； （2）过O作的平行线交于点E，若F为的中点，证明：． 26. 如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． （1）求桥拱的半径长； （2）若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 27. 【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 （1）请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． （2）【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第三教育联盟2026-2027学年 九年级上学期11月期中数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2027 D. -2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据a是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题． 【详解】解：，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 3. 已知一元二次方程的两根分别为．则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系计算两根之积即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为， ∴ ，． ∵ 方程两根为，， ∴ 由根与系数的关系得． 4. 2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为题目给出月平均增长率为，所以可利用增长率问题的通用公式建立方程．因为7月份游客数量为初始基数，9月份为最终数量，所以需先确定从7月到9月的增长周期数．因为增长率公式为“最终量 =初始量月平均增长率增长周期数”，所以将对应数值代入公式即可得到方程． 【详解】设该景区接待游客数量的月平均增长率为x． ∵7月份接待游客20万人次， ∴8月份接待游客人次为． ∴9月份接待游客人次为． ∵9月份接待游客28.8万人次， ∴可列方程． 5. 在反比例函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 分母不能为0， ∴ 自变量的取值范围是. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 等圆的半径不一定相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，弦不一定是直径，错误； B、半圆是直径的两个端点分圆所得的弧，属于弧的一种，正确； C、过圆心且两端都在圆上的线段才是直径，仅过圆心的线段不一定是直径，错误； D、等圆是能够完全重合的圆，半径一定相等，错误． 7. 已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 8. 如图，中，弦直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边对等角及平行线的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 的度数是． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程实数根的定义，将已知根代入原方程，建立关于的一元一次方程，求解即可得到的取值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个实数根． ∴将代入方程，等式成立． 代入后可得． 整理得． 化简得． 解得． 10. 方程的解是________________． 【答案】， 【解析】 【分析】求解时需将方程整理为右边为0的形式后因式分解，不可直接两边同除以，否则会遗漏这个解． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项整理得， ∴对左边提取公因式因式分解，得， ∴根据两因式乘积为0的性质，得或， ∴解得，． 11. 已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入反比例函数解析式得到，展开目标代数式并代入化简，通过配方结合平方的非负性求最小值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得，即，且． 将代入上式，得 对该式配方得 ∵ 平方项具有非负性，即 ∴ 当时，， ∴ 代数式的最小值为． 12. 在压力一定的情况下，压强与受力面积是反比例函数关系，某木块竖直放置在水平地面上，受力面积时，；若受力面积为，则它对地面的压强为_________． 【答案】 【解析】 【分析】与成反比例函数关系，先设出反比例函数解析式，代入已知条件求出定值，再代入所求受力面积计算压强． 【详解】解：∵压强与受力面积是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 即反比例函数解析式为， 当时，代入得． 13. 如图，半径为2，弦，若弦，则的度数为_____________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，因为均为圆的半径，长度为2，所以可结合弦长、的长度，分别判断和的形状．若为等边三角形，那么可得到的度数；若为等腰直角三角形，那么可得到的度数．由于弦的位置存在两种可能（在内部，或在外部），所以需分情况计算的度数，即通过与的和或差得到结果（方法不唯一）． 【详解】解：连接、、． ∵半径为2， ∴． 又， ∴是等边三角形． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 当在内部时，， 当在外部时，． 14. 等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知等边三角形边长为6，求其外接圆半径，可通过连接外心与三角形顶点构造直角三角形，结合等边三角形性质、圆周角定理、直角三角形边角关系求解． 【详解】解：设等边三角形为，边长，其外接圆圆心为，连接、，过点作于点， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理可得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ∴， ∵，， ∴平分，且， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 15. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先计算正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 解方程： （1） （2） （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）方程无实数根 【解析】 【分析】（1）移项，二次项系数化为1，开平方求解； （2）移项，提取公因式，转化为两个一元一次方程求解； （3）二次项系数化为1，配方，开平方求解； （4）确定各项系数，计算判别式判断根的情况． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【小问3详解】 解： 或 ， 【小问4详解】 解： ，，， 所以此方程无实数根． 18. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 （2）一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 （3）一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 （4）一般形式为，二次项系数，一次项系数，常数项 【解析】 【分析】通过移项，合并同类项，根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则，把方程转化成一元二次方程的一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； 【小问3详解】 解：， 去括号，得：， 移项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项； 【小问4详解】 解：， 左边展开，得：， 移项，合并同类项，得：， ∴一般形式为， 二次项系数，一次项系数，常数项． 19. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）先对式子通分变形为，再用韦达定理分别求出与，整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，，， ，， ． 20. 某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米； （2）据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 【答案】（1）通道的宽是米 （2）当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； 【小问2详解】 设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 21. 已知， （1）化简T； （2）若点在反比例函数的图象上，求T的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，分式的化简求值， 对于（1），根据分式的乘除法计算，并化到最简； 对于（2），将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：点在反比例函数的图象上， ． 即， 原式 ． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数求出，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）根据平移性质先求出平移后的一次函数表达式，令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接，联立反比例函数解析式求出交点坐标，再结合同底等高，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， 解得． 点， ， 解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数， 令，则． 令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接． 联立方程组 解得或（舍去）． ． 由平移得， 同底等高． ， ． 23. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． （1）求的值； （2）点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 【答案】（1）4 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； 【小问2详解】 如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 24. 团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． （1）该圆形团扇的半径为______； （2）求该长方体盒子的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【小问1详解】 解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． 【小问2详解】 解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 25. 如图，设是一个锐角三角形，且，圆为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，为圆直径，M为线段上一动点且满足． （1）证明：M为的中点； （2）过O作的平行线交于点E，若F为的中点，证明：． 【答案】（1） 证明：连接，，， ∵为圆直径， ∴，， 又∵H为垂心， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 取中点， 又∵O为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∵过点且垂直的线段有且只有一条，且是点到的最短距离， ∴和重合， ∴M为的中点； （2） 证明：如图1，过E作，连接，，， ∵F为的中点， ∴， 由（1）可得，， ∵过O作的平行线交于点E，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵H为垂心， ∴， ∴， ∵， ∴H为垂心， ∴，而， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，外心和垂心的性质，解题的关键是熟练掌握外心和垂心的定义． （1）证明四边形为平行四边形，则，即可求解； （2）证明四边形平行四边形，则H为垂心，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． （1）求桥拱的半径长； （2）若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】（1）桥拱的半径为50米； （2）水面上涨的高度为10米． 【解析】 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【小问1详解】 解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； 【小问2详解】 解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 27. 【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 （1）请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． （2）【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据提示画图即可； （2）连接、交于点，连接并延长交于点G，作的垂直平分线，分别交，于点H，F，顺次连接，，，，则四边形是菱形；根据矩形的性质可得，根据作图可得可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $