1.3两条直线的位置关系（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.3两条直线的位置关系 题型一两条直线平行关系的判断 题型二两条直线垂直关系的判断 题型三由平行关系求参数 基础达标题 题型四由垂直关系求参数 题型五由平行关系求直线方程 两条直线的位置关系 题型六由垂直关系求直线方程 题型七两条直线的夹角 题型一最值取值范围问题 能力提升题 题型二相交问题 拓展培优题 基础达标题 题型一两条直线平行关系的判断 1.(22-23高二下.上海南汇中学期中)己知直线1与12不重合，则“直线1与12的斜率相等“是“直线1与12平行” 的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 2.已知P(x0y)是直线：Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+(Axo+By,+C)=0与 的倾斜角() A.相等 B.互余 C.互补 D.不相等 3.(23-24高二上·上海外国语大学附属外国语学校月考)若△ABC中，a,b,c分别为三内角A,B,C的 对边，且2 lgsin B=gsinA+lgsinC,则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c() A.平行 B.重合 C.相交且垂直 D.相交且不垂直 4.若1与2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1,2,斜率分别为k1,k2,则下列命题 ①若l1/12,则斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,则l1//12: ③若l1//12,则倾斜角a1=a2;④若倾斜角a1=a2,则11//12 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 其中正确命题的个数是 5.已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的 位置关系为」 6.判断下列各组直线的位置关系： (1)4:(V5-1)x+y+3=0,12:2x+(V5+1)y+1=0 (2)4:V2x-y+1=0,2:(a2+1)x-2a=0,aeR 7.判断下列两条直线的位置关系若相交，求出交点坐标. (1)l1:0.5x-y+1=0,l2:3x-6y+8=0; (2)l1:y=2x+3,12:y=-2x+1. 题型二两条直线垂直关系的判断 1.(23-24高二下.上海北中学.)设a,b,c分别是△ABC中∠A∠B,∠C所对边的边长，则直线 sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 2.己知直线m:y=xcOSa和n:3x+y=c,则() A.m和n可能重合 B,m和n不可能垂直 C.存在直线m上一点P,以P为中心旋转后与n重合 D.以上都不对 3.(22-23高二下.上海财经大学附属中学期中)下列各组直线中，互相垂直的一组是() A.2x-3y-5=0与4x-6y-5=0B.2x-3y-5=0与4x+6y-5=0 C.2x-3y-5=0与3x-2y-5=0 D.2x-3y-5=0与6x+4y-5=0 4.(20-21高二上·上海延安中学期中)已知直线1：x-y-1=0,动直线 l2:(k+1)x+ky+k=0(kER),则下列结论错误的是() A.存在k,使得l2的倾斜角为； B.对任意的k,11与l2都有公共点； C.对任意的k,1与l2都不重合； D.对任意的k,1与l2都不垂直； 5.(22-23高二上·上海奉贤区致远高级中学·月考)已知直线112的斜率是方程x2-px-2=0的两个根，则 () 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.112 B.1/2 c.1与l2相交但不垂直 D.1与l2的位置关系不确定 6.(22-23高二上·上海奉贤区致远高级中学.期末)已知直线1：mx+y+1=0,A1,0),B(3,1),则下列结 论正确的是() A.直线1恒过定点(0,1) B.当m=0时，直线1的斜率不存在 C.当m=1时，直线1的倾斜角为置 D.当m=2时，直线1与直线AB垂直 7.直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m),则直线l1与 1的位置关系是 8.(21-22高一下.上海建平中学.期末)设直线1、12的斜率分别为k、2,倾斜角分别为α、B,若kk2=-1, 则川a-1=一 题型三由平行关系求参数 1.(25-26高三上上海建平中学)已知直线l1:(2a+1)x+ay+1=0,l2:(a+2)x+ay+2=0,若l1 //12,则a的值为() A.0或1 B.0 C.1 D.不存在 2.(24-25高一下.上海宜川中学.期末)“7=0”是“直线入x+(0-2y+3=0与直线入x+2y-1=0平行"的 (). A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条 件 3.(24-25高三下.上海复旦大学附属中学，“m=-4”是“直线l1:（m-2)x-3y-1=0与直线 12:mx+(m+2)y+1=0相互平行"的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.(24-25高三下.上海七宝中学.三模)设a为实数，直线1：ax+y=1,直线l2:x+ay=2a,则“a=1” 是112平行"的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.(24-25高二下.上海青浦高级中学期中)若m、n为实数，则“m=-1”是“直线x+my-2=0与直线 x-y+n=0平行"的() 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 6.(25-26高三上上海西中学，)已知直线x+2y-1=0与直线(3a-1)x-ay+1=0平行，则实数 a=_ mx-2y+1=0 7.(24-25高二下上海浦东新区：期中已知关于xy的方程组气x-(m+1)y+1=0无解，则实数m的值 为」 题型四由垂直关系求参数 1.(24-25高三下.上海建平中学.月考)“a=-1"是“直线x+ay+1=0与ax-y-1=0垂直”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 2.(24-25高二下.上海宝山区上海存志高级中学.月考)已知直线l1:x+(1+a)y=2+a与 12:2ax+4y=-16,则下列说法不正确的是（) A.若a=1时，则1//12 B.若a=-2时，则l1与l2重合 C.若a=-时，则11l2 D.若a=0时，则11与l2交于点(6，-4) 3.(24-25高二下.上海静安区.期末)已知直线山1：(a-2)x+ay-2=0与l2:ax十ay+1=0互相垂直，则 实数a的值为」 4.(24-25高二下.上海高行中学)已知直线1：2x-y+1=0,12:3x+ay+7=0,13:bx+2y-1=0,若 1112且l2//13,则a-b的值为 5.(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学.期中)已知平面直角坐标系中，A(-2,3),B(3,-2), C(,m),D(0,-3) (1)若直线AC与直线BD平行，求m的值： (2)若直线AC与直线BC垂直，求m的值. 题型五由平行关系求直线方程 1.(24-25高二上.上海南汇中学.期末)已知直线1经过点(1,1)，且11与直线3x-2y+4=0平行，则直线11 的方程是 2.(24-25高二下.上海崇明区·期末)求经过点M(-1,2),且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点A(1,3): (2)与直线2x+y+5=0平行 3.已知直线1经过点(0,1)，且与经过A(-1,3),B(2,0)两点的直线平行，求直线1的方程. 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六由垂直关系求直线方程 1.(25-26高二上.上海新中高级中学)已知点A(0,1)、B(2,3),则线段AB的垂直平分线的一般式方程 为 2.(24-25高二下.上海中学期中)在△ABC中，己知C(2,6),∠A的平分线所在直线方程是x-y=0,BC 边上的高所在直线是2x-y+1=0,则点B的坐标为 3.(24-25高二下.上海敬业中学)设A(-3,2),B(1,4),则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程 为 4.(24-25高二上·上海南洋模范中学期末)已知点P(2,-1),直线：3x+2y+5=0过点P且与直线1垂直， 求直线1的方程 5.(24-25高二上·上海川沙中学期末过点A(1,-2)且与直线2x+y=0垂直的直线方程为」 题型七两条直线的夹角 1.直线3x-5y+1=0与2x+y=3的夹角为 2.(25-26高二上.上海曹杨第二中学.月考)已知a为常数，若直线3x+y-2=0与直线x-ay+1=0的夹角 为3,则a=一 3.(24-25高二下.上海西中学.期中)两直线y=x-1与x-2y+1=0的夹角为」 (结果用反三 角表示) 4.(24-25高二下.上海延安中学.调研)直线x+2y-3=0与直线x-y-5=0的夹角的大小为】 5.(24-25高二上·上海师范大学附属中学宝山分校、上海师范大学附属中学闵行分校期末)已知直线 2x-ay-4=0与直线2x+y+1=0的夹角为arcc0s29,则实数a=一 6.(24-25高二上.上海南洋中学)直线1：3x-2y+1=0和l2:x-5=0的夹角为一·（用反三角形式表示） 7.(24-25高二上上海行知中学期中)已知P是直线1上一点，直线！绕点P逆时针旋转(0<C<)角得直 线1：x-y-2=0,若将直线1绕点P继续逆时针旋转买-x角得直线l2:2x+y-1=0,则直线的方 程为 B 能力提升题 题型一最值取值范围问题 1.(21-22高二下·上海向明中学.月考)已知a>0,b>0,直线(a-1)x+2y+3=0与直线x+by-1=0垂 直，则后十的最小值是() 5/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2+V2 B.4 c.3+2W2 D.6 2.(24-25高三上·上海实验学校)直线1过点P(3,2),且与x轴，y轴正半轴分别交于A,B两点. B M E (1)若直线/的斜率为-2，求△A0B的面积： (2)若△A0B的面积S满足12≤S≤要，求直线1的斜率k的取值范围； (3)如图，若AP=2PB,过点P做平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上，若 直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点的坐标. 3.(23-24高二上.上海复旦大学附属中学.期中)已知两条直线11：(t-1)x+2y-t=0和 l2:x+y+t-4=0 (1)讨论直线1与l2的位置关系： (2)当直线1与2平行时，求它们之间的距离；当直线1与2相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应t 的取值. 4.已知直线！1：y=ax+b,直线l2:y=bx~a,若1的倾斜角为买，且与l2的交点落在第二象限，求实 数b的取值范围。 题型二相交问题 1.(23-24高二下·上海中学东校月考)已知两条直线l1:y=x、l2:y=x,其中aER,当这两条直线的夹 角在(0，是)内变化时，a的取值范围为一， 2.(23-24高二下.上海通河中学.调研)已知两条直线11：x+m2y+6=0,12:(m-2x+3my+2m=0, (1)当m为何值时，1与l2相交； (2)1与l2是两条不同直线，12经过定点A,当11也经过点A时，求m的值. 3.(23-24高二上上海曹杨第二中学.期末)已知m∈R,设直线l1:x-my+1=0,直线l2: mx-4y-m+4=0. (1)若12，求m的值； (2)当1与l2相交时，求交点1的坐标（用m表示），并证明点1恒在一条定直线上. 4.(21-22高一下.上海建平中学期末)已知直线11：y=2x+1,直线2：y=kx+b(k,b∈R】 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若k=3,求直线1、2的夹角6： (2)设1交x轴于点A,交y轴于点B,l2交x轴于点D,交y轴正半轴于点C,若AB//CD,且梯形ABCD 的面积为方，求直线！2在y轴上的截距。 5.若两条相交直线1,12的倾斜角分别为61,62，斜率均存在，分别为k1,k2,且k1·k2≠0，若l1,12满 足 (从①61+2=π；②11⊥12两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答)，求： (1)k1,k2满足的关系式： (2)若l1,12交点坐标为P(1,1),同时1过A(a,2),12过B(2,b),在(1)的条件下，求出a,b满足的 关系 (3)在(2)的条件下，若直线1上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上， 求实数a,b的值. 拓展培优题 1.(24-25高二下.上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校期中)已知直线l1:x+ay=1,12:ax+y=1 ,若l1/2,则实数a= 2.(24-25高二下.上海做业中学.)已知直线山1：(a+1)x-2ay+1=0与l2:x+ay+3=0垂直，则实数 a= 3.若点P3,1)既是Aa1b1,Ba2b2的中点，又是直线l1:a1x+by-10=0与l2: ax十by-10=0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 4.已知两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0相交，则这两条直线的交点坐标为，过交点并 且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 5.(24-25高二上.上海复旦中学月考)直角三角形ABC的斜边BC在x轴上，其中点B在点C的左侧，直角 顶点A的坐标是(2,4)， B (1)设直线AC的斜率为k,试求点C和点B的坐标（用k表示）： (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标. 6.(24-25高三上.上海某校月考)(1)直线1过点(-2,2)且与直线x十2y=0垂直，求直线1的方程； 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 310 (2)已知直线1过点P(-4,1),且与直线m:3x-y+1=0的夹角为arccos0，求直线1的方程. 7.(24-25高二上·上海七宝中学，期中)在△ABC中，边AB,AC上的高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0与x+y=0,点A的坐标为(1,2). (1)求边BC的高AH所在直线的一般式方程； (2)求边BC的中线AM所在直线的斜率. 8/8 1.3两条直线的位置关系 题型一 两条直线平行关系的判断 1．(22-23高二下·上海南汇中学·期中)已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 【答案】A 【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断. 【详解】由直线方程，即， 又：， 又在直线外，所以， 则， 所以直线与平行， 即两直线倾斜角相等， 故选：A. 3．(23-24高二上·上海外国语大学附属外国语学校·月考)若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可得，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理即可得出结果. 【详解】因为，所以均为正数， 由，即， 可得，即， 对于直线，即， 对于直线，即， 由正弦定理可得，所以直线与直线重合. 故选：B. 4．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 5．已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 6．判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【答案】 平行 相交 【分析】 根据直线方程分别求出两直线的斜率，利用两直线斜率之间的关系判断直线的位置关系 【详解】（1）由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率为， 两直线的斜率相等，且两直线不重合，故两直线平行； 由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率不存在，所以直线与直线相交. 故答案为：平行；相交 7．判断下列两条直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)平行 (2)相交， 【分析】（1）求出两直线的斜率，即可判断； （2）首先判断两直线不平行，再联立直线方程，求出交点坐标. 【详解】（1）对于，， 则，，所以， 又因为，所以. （2）因为与的斜率分别为，，则，所以两条直线相交， 由，解得，所以两条直线的交点坐标为. 题型二 两条直线垂直关系的判断 1．(23-24高二下·上海北中学·)设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可. 【详解】由题设，的斜率为，的斜率为， 又，则，即两直线垂直. 故选：C 2．已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 【答案】C 【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为判断；C选项由两直线不平行，得出两直线相交判断. 【详解】对A，直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以m和n不可能重合，A错误； 对B，时，，m和n垂直，所以B错误； 对C，由知m和n不平行，设m、n相交于点P， 则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确． 故选：C． 3．(22-23高二下·上海财经大学附属中学·期中)下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 4．(20-21高二上·上海延安中学·期中)已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 5．(22-23高二上·上海奉贤区致远高级中学·月考)已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误. 故选：C. 6．(22-23高二上·上海奉贤区致远高级中学·期末)已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在 C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直 【答案】D 【分析】由题可得直线恒过定点，然后结合斜率公式逐项分析即得. 【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误； 当时，直线，斜率，故选项B错误； 当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C错误； 当时，直线，斜率，， 故，故直线l与直线垂直，选项D正确. 故选：D. 7．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 8．(21-22高一下·上海建平中学·期末)设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝ ． 【答案】 【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论． 【详解】 如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β， 若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差， 故|α﹣β|， 故答案为：． 题型三 由平行关系求参数 1．(25-26高三上·上海建平中学·)已知直线，若 ，则的值为（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．不存在 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求出，再验证得解. 【详解】若，则，解得或， 当时，直线与直线重合，不合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：所以. 故选：C 2．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)“”是“直线与直线平行”的（    ）． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，两直线方程为，，所以两直线平行. 当直线与直线平行时，， 解得或， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 所以由直线与直线平行，得或. 综上，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：B. 3．(24-25高三下·上海复旦大学附属中学·)“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 4．(24-25高三下·上海七宝中学·三模)设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 5．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 6．(25-26高三上·上海西中学·)已知直线与直线平行，则实数 ． 【答案】 【分析】由直线平行的等价条件即可求，注意检验重合的情况． 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 即，解得或， 当，直线与直线重合，所以（舍去）， 经检验，符合题意， 所以． 故答案为：． 7．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 题型四 由垂直关系求参数 1．(24-25高三下·上海建平中学·月考)“”是“直线与垂直”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 2．(24-25高二下·上海宝山区上海存志高级中学·月考)已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】B 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 【详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 3．(24-25高二下·上海静安区·期末)已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 4．(24-25高二下·上海高行中学·)已知直线，若且，则的值为 【答案】5 【分析】由直线一般式下两条直线垂直与平行的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 题型五 由平行关系求直线方程 1．(24-25高二上·上海南汇中学·期末)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线平行可设，根据直线经过点可得结果. 【详解】设直线的方程为， ∵直线经过点，∴，解得， ∴直线的方程是. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海崇明区·期末)求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 3．已知直线l经过点，且与经过，两点的直线平行，求直线l的方程． 【答案】． 【分析】先根据两点求斜率，再根据平行求出直线l的斜率，最后应用点斜式写出方程即可. 【详解】当直线与直线平行时，，则直线的斜率为 此时直线的方程为，即． 题型六 由垂直关系求直线方程 1．(25-26高二上·上海新中高级中学·)已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海中学·期中)在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海敬业中学·)设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以线段的中点， 且， 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海南洋模范中学·期末)已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【答案】 【分析】利用直线互相垂直求得直线的斜率，进而利用点斜式求得直线方程. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海川沙中学·期末)过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用两直线垂直时，斜率间的关系，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解. 【详解】因为直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故答案为：. 题型七 两条直线的夹角 1．直线与的夹角为 . 【答案】 【分析】先得到和的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解. 【详解】由得，则该直线的斜率， 又由得，则该直线的斜率， 设与的夹角为（）， 则，则，. 所以与的夹角为. 故答案为： 2．(25-26高二上·上海曹杨第二中学·月考)已知为常数，若直线与直线的夹角为，则 ． 【答案】或 【分析】分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，结合直线夹角公式可构造方程求解. 【详解】设两直线的夹角为，则，，； 由直线得其斜率； 当时，直线的斜率不存在，方程为：， 直线与轴交于，与直线交于点， 直线与轴交于， 则，满足题意； 当时，直线的斜率， 则，解得：（舍）或. 综上所述：或. 故答案为：或. 3．(24-25高二下·上海西中学·期中)两直线与的夹角为 ．（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案. 【详解】因为直线的斜率为， 直线的斜率为， 设两条直线的夹角为，则， 因为，所以． 故答案为： 4．(24-25高二下·上海延安中学·调研)直线与直线的夹角的大小为 . 【答案】 【分析】根据直线方程得到直线倾斜角的正切值，由此可得结果. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，， ∴， 设直线与直线的夹角为，则， 由得. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海师范大学附属中学宝山分校、上海师范大学附属中学闵行分校·期末)已知直线与直线的夹角为，则实数 . 【答案】或 【分析】设两直线夹角为，可得，分和两种情况，结合直线的夹角公式运算求解即可. 【详解】设直线与直线的夹角为， 则，可得，， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为， 若，则直线即为，可知， 可得，，符合题意； 若，则， 因为，可得， 即，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 6．(24-25高二上·上海南洋中学·)直线和的夹角为 .（用反三角形式表示） 【答案】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，求出夹角的余弦值可得结果. 【详解】易知的斜率为，设其倾斜角为，可得； 又易知的倾斜角为， 因此所求夹角为， 易知，因此. 故答案为： 7．(24-25高二上·上海行知中学·期中)已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 【答案】 【分析】可设直线的倾斜角为，利用旋转之后的直线方程可得交点坐标以及斜率，再由点斜式方程可求得直线的方程. 【详解】根据题意可设直线的倾斜角为， 由易知直线： 的斜率为1，因此可得， 由可得直线：的斜率为，可得； 即，解得； 因此可知直线的斜率为， 又点为与的交点，联立，解得，即； 所以直线的方程为，即. 故答案为： 题型一 最值取值范围问题 1．(21-22高二下·上海向明中学·月考)已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即， 所以（当且仅当，时，等号成立）. 故选：C． 2．(24-25高三上·上海实验学校·)直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； (3)如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意可得直线的方程为，，，即可求解. （2）直线的方程为，，，表示出，再根据，解得. （3）由，可得，，梯形的面积为，梯形的面积为6，设，，可求得，代入直线的方程，得出直线过定点. 【详解】（1）由题意可得，直线的方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以. （2）设直线的斜率为（），直线的方程为， 令，解得，令，解得， 则， 由，得， 由，成立， 由，解得， 综上，. （3）设，，因为，， 所以，可得，， ，则，， 梯形的面积为， 由题意，梯形的面积为6， 设，，可得，即， 当时，直线； 当时，直线的方程为， 将代入上式可得， 由，解得，所以直线过定点； 综上，直线过定点. 3．(23-24高二上·上海复旦大学附属中学·期中)已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 4．已知直线，直线，若的倾斜角为，且与的交点落在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由已知可得.进而联立得出方程组，求出交点坐标，根据已知列出不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得. 当时，，，此时两直线平行，没有交点； 当时，联立两直线方程，可得. 因为交点在第二象限，所以有，解得. 题型二 相交问题 1．(23-24高二下·上海中学东校·月考)已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得的取值范围． 【详解】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有 过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，． 的斜率的取值范围是，，，即，，， 故答案为：． 2．(23-24高二下·上海通河中学·调研)已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 3．(23-24高二上·上海曹杨第二中学·期末)已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)，点I恒在定直线上 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得； （2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得， 当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合， 当时，直线：，直线：即，符合题意， 故. （2）由（1）知，当，相交时， 联立，解得，∴， 因为，即， 所以点I恒在定直线上. 4．(21-22高一下·上海建平中学·期末)已知直线，直线 (1)若，求直线、的夹角； (2)设交x轴于点A，交y轴于点B，交x轴于点D，交y轴正半轴于点C，若，且梯形ABCD的面积为，求直线在y轴上的截距． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线方程得到它们的法向量，根据法向量夹角与直线夹角关系求、的夹角. （2）由题意有：，进而求，再由平行线距离求梯形的高，最后根据梯形面积公式求参数b，即可得结果. 【详解】（1），：的一个法向量分别为， 则，故． （2）由，故，即：，易知， 梯形的高h即平行直线，之间的距离，故， 设梯形ABCD的面积为S，则， 化简得，解得，故直线在y轴上的截距为． 5．若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求： (1)，满足的关系式； (2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系； (3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依题意，，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解； （2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得； （3）按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值； 【详解】（1）解：依题意，，且，均不为或， 若选①，则，则，即； 若选②，则 （2）解：依题意直线：，直线：， 又过，所以且，即且，又过，所以且，即且； 若选①，则，所以，即且、； 若选②，则，所以，即且、； （3）解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 即，所以，解得，此时直线：，所以，解得； 若选①，则，此时直线：，所以，解得； 若选②，则，此时直线：，所以，解得； 1．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)已知直线，若，则实数 【答案】 【分析】运用一般式下的平行判定计算即可. 【详解】将直线化成一般式，， 根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海敬业中学·)已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 3．若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是 ． 【答案】 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故答案为： 4．已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直于直线的直线方程为 ． 【答案】 【分析】方法1：联立直线方程求出交点，进而由垂直关系结合点斜式写出方程； 方法2：由垂直关系设出方程，进而代入交点，得出方程； 方法3：设出直线束方程，进而由垂直关系得出方程. 【详解】方法1：由方程组解得 即交点为．因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为． 由点斜式得所求直线方程为，即； 方法2：由垂直关系可设所求直线方程为． 由方程组可解得交点为， 代入得，故所求直线方程为； 方法3：由题意可设所求直线的方程为， 即①， 又因为所求直线与直线垂直， 所以，解得， 代入①式得所求直线方程为． 故答案为：；. 5．(24-25高二上·上海复旦中学·月考)直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为， (2)直角三角形ABC的面积的最小值为，此时点的坐标为. 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得直线的斜率为，结合两点斜率公式列方程求，可得结论； （2）结合（1）可得，，表示三角形面积，结合基本不等式求其最值及此时点的坐标. 【详解】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为. 6．(24-25高三上·上海某校·月考)（1）直线过点且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知直线l过点，且与直线的夹角为，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或; 【分析】（1）首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，再应用点斜式求直线方程； （2）设，则为的一个法向量， 为已知直线的一个法向量，结合两直线的夹角及向量夹角的坐标表示，列方程得或，进而写出对应直线方程. 【详解】（1）由直线，故其斜率为，根据题意， 又直线过点，则，所以； （2）由题设，令，则为的一个法向量， 又直线的一个法向量为， 由题意，可得， 所以，则，可得或， 当，时，， 当时，，即， 综上，或. 7．(24-25高二上·上海七宝中学·期中)在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. (1)求边的高所在直线的一般式方程； (2)求边的中线所在直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由两条高线所在直线方程联立求得垂足坐标后，再计算直线的斜率得直线方程； （2）由垂直得出直线的斜率，从而可得直线方程，联立方程组分别求得两点坐标后，由中点坐标公式计算出中点坐标，然后计算斜率． 【详解】（1）由，解得，因此垂足为， 所以高所在直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）因为边，上的高所在直线的方程分别为与， 所以，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 由，得，即， 由得，即， 所以的中点的坐标为， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $