精品解析：黑龙江哈尔滨德强高级中学2026-2027学年上学期期中考试高三数学试题(Ⅱ卷)

哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期期中考试 高三年级数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设，条件：，条件：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 45 D. 72 7. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 10. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 必有两个极值点 B. 存在实数使得 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则______. 13. 已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则公比______． 14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 16. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 我校素有由每届考入各大名校的优秀学生代表返校作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享的传统．若由2025届毕业的返校嘉宾组成编号为的个宣讲分享小组，其中0号宣讲分享小组的嘉宾为2名男生和2名女生，其余各组的嘉宾均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾是由从0号宣讲分享小组的嘉宾中选出的2名和1号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出2名和2号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，，按照这样的方式，依次进行到第场分享会． （1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （3）记第场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期期中考试 高三年级数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据集合并集的定义计算即可. 【详解】解一元二次不等式，，解得，即. 又因为，由并集的定义得. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 3. 设，条件：，条件：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合特殊角的三角函数值，根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当，，，， 而得或，或，则正向可以推出，反向无法推出； 所以是的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 5. 设，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，因为，所以， 又，，而 ，所以. 6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 45 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， . 7. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 8. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，连接，，，通过面面平行即可证得线面平行；B选项，由图可知，与BD不垂直，进而说明线面不垂直；C选项，通过线面平行结合等体积法求得体积；D选项，经过AB的平面截该长方体的截面面积最大时的截面为 【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确； 易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误； 由平面知，，C正确； 经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. 必有两个极值点 B. 存在实数使得 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可判断A；令，令，结合零点存在性定理判断B；由判断C；设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，依题意要使有两个解，一个极值一定为0，即可求出的值. 【详解】对于A，因为，当时，有两个不相等实数根，所以有两个极值点， 当时，恒成立，所以无极值点，故A错误； 对于B，，令，则， 令，，当时， 根据函数零点存在定理，存在实数使得，故B正确； 对于C，由，知的图象关于中心对称， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，过的切线的切点为， 切线斜率为，则切线方程为， 把点代入可得，化简可得， 令，则，令可得或， 在和上大于零，所以在和上单调递增， 在上小于零，所以在单调递减， 要使有两个解，一个极值一定为0， 若函数在极值点时的函数值，可得， 若函数在极值点时的函数值，可得， 所以若曲线有两条过点的切线，则或，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】将条件代入余弦定理，即可求解. 【详解】因为，，， 又由余弦定理有：， 即且，解得：. 故答案为：5. 13. 已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则公比______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义以及等比数列的定义，建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 由，，则， 整理可得，分解因式可得， 解得或（舍去）. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图： 在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 16. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【小问1详解】 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再结合导数分和两类讨论，函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立．再构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以. ，所以曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为函数，定义域为， 所以， 因为恒成立，所以 当时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由不等式化简得：， 因为，所以对任意恒成立． 令，则， ，，，所以， 所以在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 19. 我校素有由每届考入各大名校的优秀学生代表返校作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享的传统．若由2025届毕业的返校嘉宾组成编号为的个宣讲分享小组，其中0号宣讲分享小组的嘉宾为2名男生和2名女生，其余各组的嘉宾均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾是由从0号宣讲分享小组的嘉宾中选出的2名和1号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出2名和2号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，，按照这样的方式，依次进行到第场分享会． （1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （3）记第场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设第场分享会的学生嘉宾中恰有1名男生为事件，恰有2名男生为事件，恰有3名男生为事件，由古典概型公式可求得； （2）由全概率公式求解； （3）首先由全概率公式分别求出当时，与的关系，结合消参可得到一个等比数列，进而可得到的表达式，根据分布列可求解. 【小问1详解】 设第场分享会的学生嘉宾中恰有1名男生为事件，恰有2名男生为事件，恰有3名男生为事件， 则表示从0号宣讲分享小组的2男2女嘉宾中选出1男1女， 故，即第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率为. 【小问2详解】 由全概率公式知 ， 即第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率为. 【小问3详解】 当时，由全概率公式可知 ， ， ， 由得， 所以， 由（1）知，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 根据对称性（3男1女和3女1男）的概率一样，所以， 又，所以， 令可得的分布列为 1 2 3 所以的数学期望为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $