精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

哈尔滨市第三十二中学校 2025-2026学年度（上）学期 高三数学期中试卷 第I卷 选择题(共58分) 一、选择题(单选题，每个小题5分，共40分) 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可得出集合. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】命题是真命题等价于，再利用对勾函数求出函数的最大值即得解. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，，等价于， 函数，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当时，， 所以， 所以， 故选：A 5. 设，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将自变量代入对应解析式即可求得结果. 【详解】. 故选：C. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【详解】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得，. 故选：A. 8. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使得二次函数在上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），据此作答即可． 【详解】二次函数的对称轴为， 要使二次函数在上单调， 则或， 即或， 故选：B． 二、选择题(多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分) 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：AB. 10. 下列函数中，在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 在单调递减，故A正确， 对于B, 在单调递增，故B错误， 对于C, 单调递减，故C正确， 对于D, 在上，，故在单调递减，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果. 【详解】根据二倍角公式，由得， 即， 根据诱导公式， 所以. 故答案为： 14. 已知是函数的极大值点，那么的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，求解，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】， 令，得或， ①当，即时，则当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； ②当，即时，则， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时，则当时，， 当或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上：的取值范围是. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 17. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的最小正周期； （3）求的单调递增区间． 【答案】（1）答案见解析 （2）． （3）， 【解析】 【分析】（1）直接用“五点法”作出函数图像； （2）直接用周期的公式计算最小正周期； （3）根据正弦函数的单调区间来计算的单调区间 【小问1详解】 列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示． 【小问2详解】 由，所以函数的最小正周期为 【小问3详解】 由， 因为的单调递增区间为，所以令， 解得，所以的单调递增区间为，． 18. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 小问1详解】 ， 所以； 令，解得． 小问2详解】 因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）求函数在区间上的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，理由见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义直接判断. （2）利用配方法求出指定区间上的值域. （3）等价变形给定不等式并分离参数，再利用基本不等式求出最小值即得. 【小问1详解】 函数是偶函数. 函数定义域为R，， 所以函数偶函数. 【小问2详解】 函数，由，得， 则当，即时，，当时，， 所以函数在区间上的值域为. 小问3详解】 当时，恒成立， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第三十二中学校 2025-2026学年度（上）学期 高三数学期中试卷 第I卷 选择题(共58分) 一、选择题(单选题，每个小题5分，共40分) 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 （ ） A. B. C. D. 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题(多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分) 9. 下列各式的值为的是（ ） A B. C. D. 10. 下列函数中，在区间上单调递减有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，且，则的取值范围是___________． 13. 已知，则______ 14. 已知是函数的极大值点，那么的取值范围是______. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 16. 在中，内角，，对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 17. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的最小正周期； （3）求的单调递增区间． 18. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）求函数在区间上的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $