精品解析：天津市第二南开学校2026-2027学年高二上学期期中质量调查数学试卷

第二南开学校2026-2027学年度第一学期高二年级数学学科期中质量调查 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分． 考试时间100分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若某直线过(3,2),(4,2+)两点,则此直线的倾斜角为(　　). A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】通过斜率公式得到，进而得到倾斜角. 【详解】直线过(3,2),(4,2+)两点,则直线的斜率为 倾斜角为：60°. 故答案为B. 【点睛】这个题目考查了直线倾斜角和斜率间的关系，较为简单. 2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案. 【详解】当时，：，：，所以，充分性成立； 当时，，即，可得或，必要性不成立 故选：A． 3. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 4. 如图，，分别是四面体的边，的中点，是线段的一个三等分点（靠近点），设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，结合向量中点公式和定比分点公式，将  用基底向量  表示即可． 【详解】连接， 因为是的中点，所以 ， 因为是的中点，所以 ， 因为是线段的一个三等分点， 所以 ， 则， 将 代入上式得 ，故C正确． 5. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. 若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是 B. 若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是 C. 若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是 D. 若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量法逐一判断即可. 【详解】对于A：因为直线与直线所成角范围为，所以所成角余弦值为，故A正确； 对于B：因为直线与平面所成角范围为，所以l与所成角正弦值，l与所成角余弦值为，故BD正确； 对于C：因为二面角的平面角所成角范围为，所以二面角的余弦值可能为负值，故C错误； 故选：C 6. 若关于的方程恰有个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关于x的方程有且仅有1个解，等价于函数的图象与直线有且只有一个交点，画出图象求解. 【详解】关于的方程恰有个实数解， 等价于函数的图象与直线有且只有一个交点， 作出函数和的图象，如图所示， 的图象为上半圆， 当直线与半圆相切时，有一个交点，此时， 解得（舍去）或， 当直线分别过时，得，， 由图象可知当即时，直线与半圆有一个交点， 综上，实数的取值范围是. 7. 若圆：关于直线：对称，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆的对称轴过圆心的性质推导点的轨迹方程，再结合切线长的几何意义，将切线长最小值转化为圆心到点轨迹直线的距离进行计算. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 因为圆：关于直线：对称， 所以圆心在直线上， 则，即， 所以点的轨迹为直线， 因为，所以， 所以的最小值等价于的最小值， 圆心到直线的距离， 即的最小值为， 所以. 8. 若圆：上有到的距离为的点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆化为标准方程，把题干条件转化为两圆有公共点的位置关系，结合圆心距与两圆半径的不等关系求解实数m的取值范围． 【详解】由圆可得， 因为该方程表示圆，所以半径的平方需满足，即， 此时圆心为，半径， 圆上存在到的距离为1的点，等价于以为圆心、半径为1的圆与圆C存在公共点， 圆的方程为，圆心为，半径， 两圆圆心的距离为， 两圆存在公共点时，圆心距满足， 即， 解右边不等式，解得 解左边不等式，等价于，解得， 又，所以实数的取值范围为． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为． 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色水笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 11. 已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________． 【答案】或． 【解析】 【分析】当直线平行于直线或过线段的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程. 【详解】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意， 若直线l平行于直线AB，则其斜率， 此时直线l的方程为，即， 若直线l经过AB的中点时，点，， 则AB中点的坐标为， 当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是， 综合可得：直线l的方程为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题表面考查点到直线的距离公式，实际上考查直线的平行和中点公式，直线方程的求法，关键在于转化为直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，然后求解. 12. 过两圆与的交点，且圆心在直线：上的圆的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，设出圆的方程，求出圆心，再结合条件，即可求解. 【详解】设所求圆的方程为， 即，且①， 易知圆心为， 又圆心在直线：上，则，解得，满足①， 所以所求圆的方程为，即. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为空间向量，， 则，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为 . 14. 已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到直线的距离. 【详解】由题意知，平面，平面，所以， 又，故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以， 记， 则，， 所以到直线的距离为. 故答案为：. 15. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，求下列椭圆的标准方程： （1）经过两个点，，求椭圆的标准方程． （2）与椭圆共焦点，且过点，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设椭圆的一般方程，根据条件求出，即可求解； （2）根据条件设椭圆方程为，再结合条件求出，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两个点，，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为所求椭圆与椭圆共焦点，设所求椭圆的标准方程为， 又椭圆过点，则，整理得到，解得或（舍）， 所以椭圆的标准方程为. 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，如图所示： 因为分别为的中点，所以，且. 又因为是的中点，所以，. 所以，，则四边形为平行四边形，即. 因为平面，平面，，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意易证四边形为平行四边形，从而得到，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量运算公式即可求解； （3）利用线面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系. ，，则，，，，，，，，. 设平面的法向量，则，即， 设，则. 又，则点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【小问1详解】 由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为. 【小问2详解】 由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 19. 已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）或 （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设MN的中点为，由题可得，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由得，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果. 【小问1详解】 由得 设直线的斜率为，则方程为. 又圆的圆心为，半径， 由，解得或. 所以直线方程为或， 即直线的方程为或. 【小问2详解】 设的中点为，则， 又，所以， , 化简得 （2）（1）得代入（2）得 或 或， 以为直径的圆的方程为或. 【小问3详解】 存在实数满足题意 由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离，解得. 设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上. 所以的斜率，而，所以 由于 故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦. 20. 如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. （1）若O是CD的中点，证明:； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【答案】（1） 连接， 因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形ABCD是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，所以. （2） （3）存在点Q，点Q为PC的中点 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可证平面，平面，建系，利用空间向量证明线线垂直； （2）分别求平面ABP与平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点Q，点Q为PC的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二南开学校2026-2027学年度第一学期高二年级数学学科期中质量调查 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分． 考试时间100分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若某直线过(3,2),(4,2+)两点,则此直线的倾斜角为(　　). A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，分别是四面体的边，的中点，是线段的一个三等分点（靠近点），设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. 若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是 B. 若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是 C. 若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是 D. 若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是. 6. 若关于的方程恰有个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆：关于直线：对称，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆：上有到的距离为的点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色水笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________． 11. 已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________． 12. 过两圆与的交点，且圆心在直线：上的圆的方程是________． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______． 14. 已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为__________. 15. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，求下列椭圆的标准方程： （1）经过两个点，，求椭圆的标准方程． （2）与椭圆共焦点，且过点，求椭圆的标准方程． 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 19. 已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 20. 如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. （1）若O是CD的中点，证明:； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $