精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2026-2027学年高二上学期教学质量监测数学试卷

汉沽一中高二年级2026—2027学年度第一学期数学学科 期中教学质量监测试卷 一．选择题（本题共12题，每小题5分，共60分） 1. 已知向量，，并且，则实数x的值为（ ） A. 10 B. -10 C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和直线互相平行，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 7. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 8. 长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ） A. 线段的长度为 B. 直线到平面的距离等于 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 12. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共8题，每小题5分，共40分） 13. 两条平行直线与之间的距离是________． 14. 设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 15. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为______. 16. 若，则在上的投影向量坐标为___________． 17. 方程表示圆，则k的取值范围为______ 18. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 19. 已知圆，直线与圆C相交于A、B两点，则的最小值为________，此时________. 20. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为______． 三．解答题（本题共4题，共50分） 21. 据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 22. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面 （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 23. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切的直线方程. 24. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉沽一中高二年级2026—2027学年度第一学期数学学科 期中教学质量监测试卷 一．选择题（本题共12题，每小题5分，共60分） 1. 已知向量，，并且，则实数x的值为（ ） A. 10 B. -10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为, 设直线的倾斜角为，又， 所以，得. 故选：B 3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：D. 4. 已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 根据椭圆的标准方程，可得，即；； 又因为，即，故两焦点的距离. 根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和恒为，即. 因此的周长为：. 5. 已知直线和直线互相平行，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行直接列方程求解即可. 【详解】由题意可知， 因为直线和直线互相平行， 所以，解得， 故选：B 6. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 又，所以， 所以圆与圆的位置关系为内含. 故选：A. 7. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 8. 长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分椭圆的焦点在轴、轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或. 故选：C. 9. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交于点F，连接，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，过点D作交于点F，连接， 则为异面直线与所成的角， 由题意，在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力. 10. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，观察直线与线段的交点从点到点运动时，直线的倾斜角的变化，从而可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】如下图所示，直线的斜率为，作直线交线段于点， 当直线从的位置运动到直线的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由锐角逐渐增大为直角，，此时； 当直线从直线的位置运动到的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由直角逐渐增大为钝角，，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ） A. 线段的长度为 B. 直线到平面的距离等于 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，根据两点间距离公式求线段的长度；可得平面，故直线到平面的距离为点到平面的距离即；利用点到直线的距离公式求点到直线的距离；利用求三棱锥的体积. 【详解】以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 因为，，为的中点， 所以， ，A错误； 因为为长方体，所以平面平面， 平面，所以平面， 故直线到平面的距离为点到平面的距离，即， 所以直线到平面的距离等于，B错误； ， 所以点到直线的距离，C正确； ，D错误. 12. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系结合圆的几何性质求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则. 若圆上到直线距离为的点有且仅有4个，需满足， 即，即，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二．填空题（本题共8题，每小题5分，共40分） 13. 两条平行直线与之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】直线即， 与之间的距离是. 14. 设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知四点共面，结合四点共面的推论运算求解. 【详解】若，，共面，则四点共面， 因为，则，解得. 故答案为：. 15. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程中表示的及关系,即可求得的值. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，可知， 所以， 再由离心率，即， 解得， 故答案为：. 16. 若，则在上的投影向量坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用空间向量的坐标运算即得. 【详解】因，则在上的投影向量为， 故在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 17. 方程表示圆，则k的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的圆. 故答案为：. 18. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 19. 已知圆，直线与圆C相交于A、B两点，则的最小值为________，此时________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知直线过定点，根据圆的性质可知当时，取到最小值，进而可求弦长和斜率. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线即为，过定点，斜率为， 则，， 若取到最小值，则， 此时，. 故答案为：；. 20. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据垂径定理，易得点在以为圆心，1为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式及圆上点到定直线距离最值求法，即可得答案. 【详解】由题设，已知圆的方程化为，圆心，半径为2， 由垂径定理知，，即在以为圆心，1为半径的圆上， 到的距离为，故的最小值为. 故答案为：1 三．解答题（本题共4题，共50分） 21. 据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. 【小问2详解】 因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. 【小问3详解】 设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 22. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面 （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在正方体中，可知，， 所以四边形是平行四边形，则， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图空间直角坐标系，，，，， 即，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）可知平面的法向量可设为， 设直线与平面所成角为， 则. 23. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为r，由， 得，得， 点A的坐标为，圆半径， 圆A的标准方程为； 【小问2详解】 画出圆的图象如下图所示， 由图可知，直线过点，且与圆相切， 当过点与圆相切的直线斜率存在时， 设切线方程为， 到直线的距离，解得， 所以切线方程为. 综上所述，切线方程为或. 24. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为是正方形，，是，的中点， 所以， 因为平面， ，平面， 所以，， 所以如图以为原点，，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ， ∴ ∴ （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建系，通过向量垂直即可得证； （2）求得平面法向量，由面面夹角的公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面与平面夹角， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴平面与平面夹角. 【小问3详解】 由题可知， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍）， ∴， 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $