精品解析：浙江温州市宏德中学等校2026－2027学年九年级上学期数学期中诊断卷

2026年（下）九年级数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷I 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　　） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C. 明天太阳从东方升起 D. 奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 2. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C. 抛一枚硬币，出现正面的概率 D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率 9. 如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，连接，相交于点，连接，，．已知于点，．下列结论：；若为的中点，则；若，则扇形的面积为．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数与函数的图象有两个交点，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标为______． 12. 半径为2，圆心角为的扇形面积为___________．（结果保留） 13. 已知某商品每件利润为10元时，每天可销售80件．如果每件商品每涨价1元，日销售量就减少2件，则每件商品涨价______元时，每天总利润达到最大． 14. 近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 15. 如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为，则变阻器R消耗的电功率P的最大值是__________ 16. 如图，点在直径上，点在半圆上，连接，若，则的值为___________． 三、解答题（本题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 18. 如图，在中，半径垂直弦于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． （1）在圆上找一点，使平分． （2）求弧的长度 20. 现有4张印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片，分别对应：A．猪妖、B．蛤蟆精、C．黄鼠狼精、D．猩猩怪．四张卡片的形状、大小、质地均完全相同，将其放入不透明盒子中，搅匀放好． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）从中随机抽取1张卡片，取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率是__________； （2）现需从这4张卡片中随机抽取2张去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”这2张卡片的概率． 21. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 22. 如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 23. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为相关企业的关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与当日充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】 （1）根据上面表格中的数据，求与之间的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元． （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡，求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单辆车的充电费用提升，该充电站收入与充电汽车数量的关系调整为，成本与充电汽车数量的关系保持不变．已知当充电汽车的数量为80辆时，净收益（净收益收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的的取值范围． 24. 已知的直径为是内互相垂直的两条弦，垂足为，连结，． （1）如图1，当是直径时，，，求． （2）如图2，当均不是直径时，连结并延长交于点． ①求证：； ②求证：． （3）如图3，作点关于的对称点，连结并延长交于点，交于点．若8，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年（下）九年级数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷I 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　　） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C. 明天太阳从东方升起 D. 奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； B、从装有3个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D、奥运射击冠军李豪射击一次，命中10环是随机事件，符合题意． 故选：D． 2. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象性质，根据顶点坐标为，对称轴，开口方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为中的，函数图象的开口向上，故该选项是错误的； B、因为，所以函数图象的顶点坐标是，故该选项是错误的； C、因为，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故该选项是错误的； D、因为对称轴，，函数图象的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故该选项是正确的； 故选：D 5. 如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 6. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，找到两次都摸到红球的结果数，依据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种， ∴两次都摸到红球的概率为． 7. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 8. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C. 抛一枚硬币，出现正面的概率 D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：；故此选项符合题意． C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，连接，相交于点，连接，，．已知于点，．下列结论：；若为的中点，则；若，则扇形的面积为．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理推导弧与角的关系判断；结合全等三角形判定与性质、三角形中位线定理判断；利用勾股定理及弧弦关系推导圆心角，计算扇形面积判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵为中点， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴为中点，又为中点， ∴为中位线， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 由知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为，故错误； 综上所述，正确的是． 10. 若二次函数与函数的图象有两个交点，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配方，分区间讨论抛物线与分段函数两段的交点个数，根据总交点数为2求解． 【详解】解：，开口向上，最小值为． 当时， ∵最小值， ∴与无交点，不符合． 当时， ∵最小值， ∴与（）无交点，需与（）有2个交点． 令， 整理得， ∵方程有两个不同实根， ∴，即． 解得， ∵两根均需满足， ∴较小根， 即， 由右边非负得， 两边平方得， 即， 解得或， 结合，得． 当时， 与（）的交点：较大根为， 当时，根为，共1个交点； 当时，，故，无交点． 与（）的交点：令， 当时，重根，共1个交点； 当时，两根均小于0，共2个交点． ∴时，总交点数为2，符合条件． 综上，的取值范围是或． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点坐标的确定方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 半径为2，圆心角为的扇形面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的半径为，圆心角为，直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：扇形的半径为，圆心角为， 该扇形的面积为． 13. 已知某商品每件利润为10元时，每天可销售80件．如果每件商品每涨价1元，日销售量就减少2件，则每件商品涨价______元时，每天总利润达到最大． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用每件商品的利润销量总利润，进而得出关系式，再根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：设每件商品涨价元，总利润为， 根据题意可得： ， 则每件商品涨价元时，每天的总利润达到最大． 14. 近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 【答案】 【解析】 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，湖泊面积等于航拍区域总面积乘以点落入湖泊区域的概率． 【详解】解：∵大量重复试验后，点落在湖泊区域的频率稳定在， ∴估计点落在湖泊区域的概率为， ∵航拍区域总面积为平方千米， ∴该湖泊的面积约为平方千米． 15. 如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为，则变阻器R消耗的电功率P的最大值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出表达式，然后配方成顶点式求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得 ∴ ∴当时，变阻器R消耗的电功率P的最大值是． 16. 如图，点在直径上，点在半圆上，连接，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点C、D分别作的垂线，构造等腰直角三角形，利用勾股定理建立方程求解半径与的关系，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点C作于点E，过点D作于点F，连接，  ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 同理可得：，， ∵， ∴，  设，则，设半圆半径为R，， 由图可知P在上，E在P左侧，F在P右侧，  ∴， ，  在和中， ∴，解得， ∴，  ∴，即， ∴，，  ∴． 三、解答题（本题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【解析】 【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）代入x=-2求出y值，将其与3比较后即可得出结论． 【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3； ∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5），则有： 解得； ∴y=﹣x2﹣2x+3． （2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 18. 如图，在中，半径垂直弦于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵半径垂直弦于点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，进而根据同圆中，等弧所对的圆心角相等即可得证； （2）由垂径定理可得，在中，由勾股定理得的长，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵半径垂直弦于点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 19. 在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． （1）在圆上找一点，使平分． （2）求弧的长度 【答案】（1）如图，点D即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与圆交于点，即可； （2）设的外接圆圆心为O，连接、，求出圆心角即可求弧长． 【小问1详解】 解：如图，是等腰直角三角形，且，是斜边，是正方形的对角线， 平分， 且平分， ； 【小问2详解】 解：设的外接圆圆心为O， 连接、， 由勾股定理可得半径为 因为， 所以， 所以． 20. 现有4张印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片，分别对应：A．猪妖、B．蛤蟆精、C．黄鼠狼精、D．猩猩怪．四张卡片的形状、大小、质地均完全相同，将其放入不透明盒子中，搅匀放好． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）从中随机抽取1张卡片，取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率是__________； （2）现需从这4张卡片中随机抽取2张去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”这2张卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由于有四张卡片， ∴从中随机抽取1张卡片，取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“．猪妖”和“．猩猩怪”的结果有2种，即． ∴选中“．猪妖”和“．猩猩怪”的概率为． 21. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 【答案】(1) ;(2) 此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;(3) x＜﹣3或x＞0. 【解析】 【分析】（1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可； （2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）观察图像可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1． 【详解】解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点， 得， 解这个方程组，得， ∴抛物线的解析式为； （2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0， 解这个方程，得x1=﹣3，x2=1， ∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）； （3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1． 22. 如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 23. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为相关企业的关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与当日充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】 （1）根据上面表格中的数据，求与之间的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元． （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡，求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单辆车的充电费用提升，该充电站收入与充电汽车数量的关系调整为，成本与充电汽车数量的关系保持不变．已知当充电汽车的数量为80辆时，净收益（净收益收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的的取值范围． 【答案】（1） 与的函数关系式为（为正整数），当时，该充电站的收入为2000元 （2） 收支平衡时的值为20或100 （3） 的取值范围是 【解析】 【分析】（1）因为收入与充电汽车数量成正比例关系，所以设函数关系式为，代入表格中任意一组的对应值，求解比例系数，再将代入所得函数式计算对应收入． （2）因为收支平衡时收入等于成本，所以令，将已得的关于的函数式和给定的关于的函数式联立，得到一元二次方程，求解该方程并结合的实际意义确定符合条件的解． （3）先根据净收益=收入-成本，写出净收益关于的二次函数表达式，因为二次函数在顶点处取得最值，所以利用二次函数顶点横坐标公式得到顶点横坐标，结合已知的最值点横坐标是，且车辆数必须是整数可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：根据表格可得收入与充电汽车数量成正比例关系， 所以设函数关系式为，将代入得, 故与之间的函数关系式为（为正整数）， 当时，, 所以该充电站的收入为2000元． 【小问2详解】 解：因为收支平衡时收入等于成本，所以令， 即, 解得：, 所以收支平衡时的值为20或100． 【小问3详解】 解：设净收益为， 则 对称轴为, 由于车辆数必须是整数，最大值在  处取得, 所以, 解得：． 24. 已知的直径为是内互相垂直的两条弦，垂足为，连结，． （1）如图1，当是直径时，，，求． （2）如图2，当均不是直径时，连结并延长交于点． ①求证：； ②求证：． （3）如图3，作点关于的对称点，连结并延长交于点，交于点．若8，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）13 （2）证明：①如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，连接交于点， ∵是直径，的直径为， ∴，， ∴； 由①可知， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理平分对应的弧和弧、弦、圆心角的关系得到，然后由直径所对的圆周角是直角和勾股定理解答即可； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和已知的垂直条件可推出，然后根据两直线平行内错角相等和等弧所对的圆周角相等即可证得结论； ②连接交于点，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据两直线平行内错角相等和同弧所对的圆周角相等，结合等角对等边，利用线段的和差可推出，从而证得结论； （3）连接并延长交于点，连接、，根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理求得的长度和，从而可知，然后根据同弧所对的圆周角相等和对称的性质得到，从而，证得四边形是平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即的值为13； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接并延长交于点，连接、， 则为直径， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $