精品解析：河南商丘市第二高级中学2026～2027学年高一上学期期中数学试卷

河南省商丘市第二高级中学2026~2027学年高一（上）期中数学试卷 本试题满分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，函数的图象如图所示，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 5. 在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（ ） A. 90 B. 110 C. 135 D. 160 6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，且 ，函数 单调递减，若 ，则不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 函数 ，若对于 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 10. 下列说法中不正确的有（ ） A. 函数与为同一个函数 B. 已知=，则 C. 函数的最小值为2 D. 若的定义域为，则的定义域为 11. 已知 是定义在 上的偶函数， 为奇函数，，且函数 在 上单调递增（即对任意 ，当 时，都有 ），则（　　） A. 的图象关于点 对称 B. C. 在 上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数 的图象不经过原点，则 ______． 13. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 14. 设函数的最大值为，最小值为，则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，讨论函数在上的单调性； （2）直接写出函数的单调区间（无需过程）； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 17. 已知是定义在上的奇函数． （1）求，的值及的解析式； （2）解不等式：． 18. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； （2）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省商丘市第二高级中学2026~2027学年高一（上）期中数学试卷 本试题满分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，即． 因为，所以． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】的否定为，“”的否定为“”，即可得解. 【详解】的否定为，“”的否定为“”， 则“，”的否定为“，”. 故选：A. 3. 已知函数，函数的图象如图所示，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，， 又，所以. 4. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义得出，代入计算即可． 【详解】由题意得，， 故选：B． 5. 在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（ ） A. 90 B. 110 C. 135 D. 160 【答案】A 【解析】 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，且 ，函数 单调递减，若 ，则不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性定义及偶函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，， 所以在上单调递增，且， 所以不等式等价为或， 即或，解得或， 所以不等式的解集为. 7. 函数 ，若对于 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，都有 ，即函数在上单调递减，要求分段函数在每段上单调递减且分段点处左段函数值不小于右段函数值. 【详解】由，知在上单调递减. 当时，单调递减，，解得. 当时，开口向上，对称轴为，在上递减， ，解得. 分段点处，递减要求左段函数值不小于右段函数值： ， 即，解得. 综上，，即. 8. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的性质结合条件求出函数的解析式，再根据，可得函数在上递减，再根据函数的单调性分和列不等式求的取值范围. 【详解】因为函数是奇函数，是偶函数， 所以，， 又， 则； ∴，若对任意，都有， 即成立， 令，则函数在区间上单调递减； 当时，，则函数在区间上单调递减，符合题意． 当时，为二次函数，图像关于对称． 因为函数在上递减， 所以或，解得：或． 综上：a的取值范围是． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，可得，判断A；得到的关系，可判断C；结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集，判断B；分析函数在上的单调性，可判断D. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得和是关于的方程的两个实数根，且， 所以，得. 所以A正确； 不等式等价于， 即， ， 解得或. 所以不等式的解集为或， 所以B不正确； 因为， 所以C正确； 函数， 因为， 所以函数在上单调递增. 所以D正确. 10. 下列说法中不正确的有（ ） A. 函数与为同一个函数 B. 已知=，则 C. 函数的最小值为2 D. 若的定义域为，则的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的解析式是否相同便可判断A；根据已知解析式用配凑法求解析式可判断B；根据基本不等式判断C；由抽象函数定义域求解可判断D. 【详解】对于A选项，，，解析式不同，故A不正确； 对于B选项，由=， 所以，故B正确； 对于C选项，， 但是，等号不能成立，故C不正确； 对于D选项，因为的定义域为，令，解不等式得， 所以的定义域为，故D正确. 故选：AC. 11. 已知 是定义在 上的偶函数， 为奇函数，，且函数 在 上单调递增（即对任意 ，当 时，都有 ），则（　　） A. 的图象关于点 对称 B. C. 在 上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：由 是奇函数推出，得关于对称；B：结合奇偶性推导出周期为16，； C：利用周期性与偶函数单调性特征，得到在[12，16]单调递减； D：周期 16 且一个周期和为 0，结合单调性判断和小于. 【详解】选项A，因为为定义在上的奇函数，则 ，即，因此的图象关于点对称，A正确； 选项B，是偶函数，故，结合，将替换为，可得， 代入偶函数性质，得；再将替换为，得， 联立得，即是周期为16的周期函数，因此，B正确； 选项C，由周期为16可知，在上的单调性与上的单调性完全一致， 又是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减， 因此在上单调递减，C错误； 选项D，由，可得 ， 即每连续16项（一个周期）的和为0， 因为，所以， 由于在单调递增，且，故， 因此， 即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数 的图象不经过原点，则 ______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】，整理得，解得或. 当时，，此时，图象经过原点，不合题意，舍去. 当时，，此时处函数无定义，图象不经过原点，符合题意. 故. 13. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】解出不等式，由是的充分不必要条件求出实数的取值范围. 【详解】由得. 因为是的充分不必要条件， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 14. 设函数的最大值为，最小值为，则____． 【答案】 【解析】 【分析】利用分离常数项整理函数得，结合函数的奇偶性，即可得解. 【详解】， 设， 因为，所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）8个 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得，进而写出子集个数； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， ，其子集个数为个; 【小问2详解】 由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知函数． （1）当时，讨论函数在上的单调性； （2）直接写出函数的单调区间（无需过程）； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增； （2）函数在上单调递减，在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）由单调性的定义，研究函数的单调区间； （2）由基本不等式求得函数的最小值点，由此得到函数的单调区间； （3）原命题为假命题则命题的否定为真命题，整理不等式后，利用基本不等式求得不等式右边的最小值，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， ∵，当且仅当，即时取等号， 在，则， 而，， ∴，即， ∴，即. 在，则， 而，， ∴，即， ∴，即. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ∵，当且仅当，即时取等号， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 即在时恒成立， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴， ∴实数的取值范围. 17. 已知是定义在上的奇函数． （1）求，的值及的解析式； （2）解不等式：． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知 是定义在 上的奇函数， 可得 ， 又 ，所以 ， 所以的解析式为，. 【小问2详解】 设 ，易知 ，，，. 则 则，所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数， 由 可得 所以解得 ， 故原不等式的解集为 . 18. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明如下： 取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）； （3） . 【解析】 【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． 【小问3详解】 因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； （2）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）① 和 ②当 时，；当 时， （2） 【解析】 【分析】（1）①将 ， 的值代入，由不动点定义列方程 求解； ②二次函数开口向上，闭区间上的最大值在端点处取得，比较 与 的大小，按 的取值分类. （2）不动点是方程 的根，由 ， 及韦达定理把 表示成 的函数，换元后利用对勾函数的单调性求值域，再检验判别式. 【小问1详解】 ①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 . ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 . 【小问2详解】 令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $