精品解析：河南新乡市第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

新乡市一中2026-2027学年上期 高一数学试卷 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卷上．写在本试卷上无效. 3．考试范围：必修一前三章、第四章4．1-4．3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 2. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 3. 已知且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 5. 已知，，用，表示为（ ） A. B. C. D. 6. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 已知定义在上的偶函数，若对当时，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 10. 下列四个选项中，是的充要条件的有（ ） A. 内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等； B. ：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例 C. ，与之一为空集； D. 三角形是等腰三角形，三角形存在两角相等 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若，则_____． 13. 已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____. 14. 记表示不超过的最大整数，如，，．已知函数，则函数的值域为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）求值； （2）； 16. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 为满足市场对某有机水果的需求，某果农计划扩大种植规模和提高水果品质．根据科学预算，需要投入的固定成本为3万元，当产量为吨时，需要投入可变成本万元，且已知当产量为5吨时，需要投入的可变成本为5.5万元．根据市场行情，该有机水果每吨的售价为2万元，假定该有机水果能全部售完． （1）求利润（单位：万元）与产量（单位：吨）的函数关系式． （2）当该有机水果的产量为多少吨时，所获利润最大？请求出最大利润． 注：利润=销售收入－可变成本－固定成本． 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性（只给出结论即可），并求出的值域； （3）存在，不等式成立，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为R，且，若. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）已知，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2026-2027学年上期 高一数学试卷 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卷上．写在本试卷上无效. 3．考试范围：必修一前三章、第四章4．1-4．3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到集合的元素个数，再利用集合的子集个数公式求解即可.  【详解】由，得，即，解得或， 因此，即集合中共有2个元素， 故该集合的所有子集的个数为. 2. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 3. 已知且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为且， 所以， 当且仅当即时取等号. 4. 荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】C 【解析】 【分析】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，再利用指数运算求解可得. 【详解】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，荷叶天可以完全长满荷塘水面， 设天后荷叶刚好覆盖水面面积的，可得，，解得. 故当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了天. 5. 已知，，用，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由换底公式和对数的运算性质可得． 6. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 7. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 8. 已知定义在上的偶函数，若对当时，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为偶函数，将不等式化为；根据得到在上单调递增，进而得到；两边平方整理得到一元二次不等式，求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 则不等式等价于不等式. 因为对且时，都满足， 所以与同号，故在上单调递增， 所以，即， 整理得，即， 解得或. 故不等式的解集为. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可判断A，根据指数函数的性质即可求解B，由单调性及偶函数性质即可判断C，根据幂函数的性质即可判断D. 【详解】对选项A：命题“”的否定为“”，故A错误； 对选项B：令，得，则， 得的图象恒过定点，故B错误； 对选项C：函数在是减函数，由， 得， 由于是定义在上的偶函数，则， 得，故C正确； 对选项D：因为为幂函数， 所以或， 又在上为减函数，所以，故，所以D正确. 故选：CD 10. 下列四个选项中，是的充要条件的有（ ） A. 内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等； B. ：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例 C. ，与之一为空集； D. 三角形是等腰三角形，三角形存在两角相等 【答案】BD 【解析】 【详解】对A：若内两条弦相等，可得这两条弦所对的圆周角相等或互补， 故不是的充要条件，故A错误； 对B：若两个三角形相似，则这两个三角形三边成比例； 若两个三角形三边成比例，则这两个三角形相似； 故是的充要条件，故B正确； 对C：若，则、中没有公共元素，不一定有空集， 故不是的充要条件，故C错误； 对D：若三角形是等腰三角形，则这个三角形底角相等； 若三角形存在两角相等，则这个三角形中这两个角所对的边相等， 即这个三角形是等腰三角形；故是的充要条件，故D正确； 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行比较大小即可. 【详解】因为， 易知， 而， 所以，且，则A正确，B错误，C正确， ，， 比较与的大小关系，，，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】由于，故， 因此． 13. 已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的对称轴，分析可知，然后根据x≥1时，函数为增函数 且，分析即得解 【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]， 当x≥1时，函数为增函数，且 ∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]． 故答案为：[1，3] 14. 记表示不超过的最大整数，如，，．已知函数，则函数的值域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质与不等式的性质求出的值域，再由取整函数的定义即可确定的值域. 【详解】因， 令，则，函数在上单调递增，则，从而； 可得，即得， 故当时，；当时，；当时，， 因此的值域为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）求值； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）      . （2）       . 16. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式可得集合，再由集合交集的定义可得； （2）先求出，根据并集定义求解即可得. 【小问1详解】 由，得，即，解得，故. 若，则，所以. 【小问2详解】 由题意，， 若，则. 所以实数的取值范围为. 17. 为满足市场对某有机水果的需求，某果农计划扩大种植规模和提高水果品质．根据科学预算，需要投入的固定成本为3万元，当产量为吨时，需要投入可变成本万元，且已知当产量为5吨时，需要投入的可变成本为5.5万元．根据市场行情，该有机水果每吨的售价为2万元，假定该有机水果能全部售完． （1）求利润（单位：万元）与产量（单位：吨）的函数关系式． （2）当该有机水果的产量为多少吨时，所获利润最大？请求出最大利润． 注：利润=销售收入－可变成本－固定成本． 【答案】（1） （2）该有机水果的产量为40吨时，利润最大，最大利润为14万元． 【解析】 【分析】（1）小问分两段求解利润与产量的函数关系式，分别为和； （2）小问当时，求二次函数的最大值，对称轴在给定的区间内，故在对称轴取最大值；当时，运用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，， 当时，． 故 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9.5； 当时，， 当且仅当时，等号成立，即取得最大值14． 又， 所以该有机水果的产量为40吨时，利润最大，最大利润为14万元． 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性（只给出结论即可），并求出的值域； （3）存在，不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 在上为严格单调递减函数，值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义域为的奇函数性质求解参数； （2）由（1）得， 通过函数化简判断单调性、求解值域； （3）结合奇偶性与单调性将存在性不等式转化为二次函数的最值问题，进而求解参数的取值范围. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，故满足， 将代入函数表达式： ，解得， 验证当时，，对任意，有 ， 满足奇函数的定义，故. 【小问2详解】 将代入函数表达式，化简得 ， 因为指数函数在上严格单调递增，故在上严格单调递增， 因此在上严格单调递减，可得在上为严格单调递减函数。 由于，故，因此，代入的化简式得： ，即的值域为.  【小问3详解】 对原不等式进行变形，得 ， 因为是奇函数，故，不等式转化为 ， 又因为在上严格单调递减，所以 ，整理得， 令，即，其中， 由于是开口向上的二次函数，对称轴为，位于区间内，所以的最大值在端点处取得， 当时，；当时，； 因此在上的最大值为，故，即实数的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为R，且，若. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）已知，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出. 【小问1详解】 令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . 【小问2详解】 令，得， 即， 故的解析式为. 【小问3详解】 由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $