精品解析：贵州省贵州三联教育集团2026-2027学年高一上学期11月期中素质检测数学试题

2026年秋季学期期中素质检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式 的解集是（　　） A. B. 或 C. D. 或 3. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 4. 若 ，则 （　　） A. B. 或 C. D. 5. 已知 ，则函数的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人.同时参加集体项目和田径比赛的有4人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（　　）人. A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为全集，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. ，两个数中至少有一个不大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，取值范围为__________． 13. 已知，，的子集个数为_______ 14. 已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）求及； （2）记全集，求. 16. 已知集合，，． （1）求； （2）求； （3）求． 17. 已知，. （1）若，证明：. （2）求的取值范围. 18. 如图，某工厂设计一个零件（阴影部分），该零件由2个全等的矩形，和1个等腰直角三角形拼接而成，需从一个半圆形铁片上裁剪.已知零件的总面积为，设，. （1）求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）求能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值. 19. 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. （1）已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中素质检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以集合的元素个数为. 2. 不等式 的解集是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】，即， 令，解得， 则二次函数 ，，抛物线开口向上， 所以不等式 的解集为 . 3. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于定义在集合中的任意一个x，在集合中都有唯一确定的y与之对应，函数的定义域为，值域为集合Q的子集. 对于A，，定义域不符，A错误； 对于B，时，一个x对应两个y值，B错误； 对于C，时，对应了两个y值，C错误； 对于D，，，值域是集合Q的子集，每个x都有唯一的y与之对应，D正确. 4. 若 ，则 （　　） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若 ，则集合为 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，（舍去）或 ， 当 时集合为 ，符合题意． 故选项A正确. 5. 已知 ，则函数的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故最小值为． 6. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，求右侧函数在区间上的最大值. 【详解】，即 ，， 令 ，在上单调递减，最大值 ，故 . 7. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人.同时参加集体项目和田径比赛的有4人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（　　）人. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】用容斥原理先求同时参加田径和球类的人数. 【解答】设同时参加田径和球类比赛的有人， 则，解得. 则只参加集体项目的有人， 故同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有人. 8. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法，通过已知定义域求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得， 所以函数的定义域为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为全集，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据包含关系结合集合间的运算求解. 【详解】因为，等价于，等价于和， 故A错误，BCD正确； 故选：BCD. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据作差法可比较，根据正负中间值法可比较,进而根据不等式的性质即可判断. 【详解】因为所以故， 又，所以 故A，C错，B,D正确， 故选：BD 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. ，两个数中至少有一个不大于1 【答案】BCD 【解析】 【分析】将，代入即可求出的值，即可判断选项A是否正确；根据基本不等式，即可判断B是否正确；根据基本不等式“1”的用法，即可判断选项C是否正确；利用反证法即可判断选项D是否正确. 【详解】若，则，这与矛盾，故A错误. 因为，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确. 因为，且，，所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故C正确. 假设，两个数中没有一个数不大于1，即，，则，， 所以，，这与矛盾，因此假设不成立，即，两个数中至少有一个不大于1，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以 所以，即. 13. 已知，，的子集个数为_______ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，, 所以的子集个数为个. 14. 已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是____________． 【答案】13 【解析】 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）求及； （2）记全集，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用交集、并集的定义直接求解； （2）利用补集的定义直接求解． 【小问1详解】 ，， ，； 【小问2详解】 ， ． 16. 已知集合，，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 由，， 得 【小问2详解】 ， 所以 【小问3详解】 或， 所以或 17. 已知，. （1）若，证明：. （2）求的取值范围. 【答案】（1）由，得， 当且仅当时取等号，且满足题设， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）作出不等式两边的差，利用完全平方数为非负数得证. （2）利用不等式的性质求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得；由，得， 因此，所以的取值范围是. 18. 如图，某工厂设计一个零件（阴影部分），该零件由2个全等的矩形，和1个等腰直角三角形拼接而成，需从一个半圆形铁片上裁剪.已知零件的总面积为，设，. （1）求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）求能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值. 【答案】（1）关于的函数解析式为，定义域 （2） 【解析】 【分析】（1）由图根据总面积找出两者的关系，求出定义域即可； （2）取中点，连接，作于点，由图分析推得，求出半圆铁片面积的表达式，利用基本不等式求出其最小值. 【小问1详解】 由图可知，在等腰直角三角形中，， 由于矩形，全等， 所以， 故零件总面积为，即， 由，得， 故关于的函数解析式为，. 【小问2详解】 设半圆半径为，那么 如图所示，取中点，连接，作于点， 根据圆的对称性可知，为半圆的圆心，由于为等腰直角三角形， 所以， 又，所以，则， 所以 由（1），得，故，， ， 当且仅当 ，即 时（此时 ，在定义域内），等号成立， 所以能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值为. 19. 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. （1）已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； （2）证明：. 【答案】（1）①；；②4 （2） 由（1）可知：对于两个数集， 综上所述：当元素与数集的关系相同时，则， 可得； 当元素与数集的关系不同时，则， 可得； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）分析可知当元素与数集的关系相同时，，不同时.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案； （2）结合（1）中结论分析证明即可. 【小问1详解】 对于两个数集， 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时. ①因为集合， 且，所以， 又因为，所以； ②对任意， 若元素与数集的关系相同时，且； 若元素与数集的关系不相同时，或； 若取到最小值，则， 当为的子集与的并集时，此时取到最小值4. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $