精品解析：贵州省遵义航天高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

遵义航天高级中学2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 方程lnx+2x﹣6＝0的近似解所在的区间是（　　） A. （1，2） B. （2，3） C. （3，4） D. （4，5） 6. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A. B. C. D. 7. 函数在R上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 10. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若实数a，b满足，则的最小值为2 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为___________． 13. 方程的根为___________． 14. 若函数，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15. 化简求值 （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 18. 定义在上的函数是单调函数，满足，且，. （1）求，； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. ①②若_____________，，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足： ①函数在是单调函数； ②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”. （1）判断函数，是否存在1级“理想区间”？若存在，请写出其中2个符合题意的区间.（直接写结果） （2）证明：函数存在3级“理想区间”； （3）设函数，，已知函数单调递增，若函数存在级“理想区间”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性、单调性逐项判断作答. 【详解】对于A，是定义在R上的奇函数，是减函数，A是； 对于B，是定义在R上的奇函数，是增函数，B不是； 对于C，是上的增函数，不是奇函数，C不是； 对于D，定义域在R上的增函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据限制条件列出不等式，最后求交集即可. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 即， 故选：. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 5. 方程lnx+2x﹣6＝0的近似解所在的区间是（　　） A. （1，2） B. （2，3） C. （3，4） D. （4，5） 【答案】B 【解析】 【分析】 令函数f（x）＝lnx+2x﹣6，然后根据函数的零点存在定理可判断出答案. 【详解】令函数f（x）＝lnx+2x﹣6，可判断在（0，+∞）上单调递增， ∴f（1）＝﹣4，f（2）＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3＞0， ∴根据函数的零点存在定理可得：零点在（2，3）内， 即方程lnx+2x﹣6＝0的近似解：在（2，3）内. 故选：B 6. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求解. 【详解】当时，所以，故， 又为奇函数，则，故. 故选：A. 7. 函数在R上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与对数函数的单调性计算即可. 【详解】对于易知其在上单调递减，所以应在R上单调递减， 则，解之得. 故选：C 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有在上递减，且函数图象关于对称，利用单调性和对称性解不等式求解集. 【详解】由题设，在上递减，且函数图象关于对称， 根据，则， 所以，可得. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项逐个分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但不成立，B选项错误； 若，满足，但不成立，C选项错误； ，则，又，即，D选项正确. 故选：AD 10. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若实数a，b满足，则的最小值为2 【答案】CD 【解析】 【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，∵，∴，， ∴ （当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误； 对于C，∵，∴，，又， （当且仅当，即时取等号），C正确； 对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确． 故选：CD 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为函数与交点横坐标， 对于A，由图知，，，故A错误； 对于B，因为，即， 所以，故B正确； 对于C，由二次函数性质可知，故C正确； 对于D，由， 而，所以，无最小值，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义求解. 【详解】由，得，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13. 方程的根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法计算求解即可. 【详解】令， 因为， 所以原方程可化为， 解得或（不符合题意舍去）， 即，解得. 故答案为：. 14. 若函数，则___________． 【答案】4049 【解析】 【分析】利用函数的对称性计算即可. 【详解】令，显然， 即为奇函数，所以，则的图像关于中心对称， 则，又， 故 . 故答案为：4049 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15. 化简求值 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】根据指数、对数运算法则和运算性质计算. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，单调递减，求出最大值和最小值，得到的方程，求解即可； （2）令，则，所求函数为，由二次函数的性质求出值域. 【详解】（1），； 又在上为减函数， ，即，. （2），， 令，则， 故，其值域为. 【点睛】本题考查对数函数的单调性和值域，二次函数的性质的应用，属于中档题. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）减函数；证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可. （2）利用函数单调性定义证明即可. （3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， ；，解得， ∴，而，解得， ∴，． 【小问2详解】 函数在上为减函数； 证明如下：任意且，则 因为，所以，又因为， 所以，所以， 即，所以函数在上为减函数． 【小问3详解】 由题意，，又，所以， 即解不等式，所以， 所以，解得， 所以该不等式的解集为． 18. 定义在上的函数是单调函数，满足，且，. （1）求，； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. ①②若_____________，，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）奇函数，证明见解析； （3）选①：；选②：. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； （3）由题可得在R上是增函数，进而可得，然后通过参变分离转化为恒成立问题或有解问题，再求函数的最值即得. 【小问1详解】 取，得，即， ∴， ∵， 又，得， 可得； 【小问2详解】 ∵函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得 ∴函数是奇函数； 【小问3详解】 选①： ∵是奇函数，且在上恒成立， ∴在上恒成立，且； ∴在R上是增函数， ∴在上恒成立， ∴在上恒成立， 令.由于， ∴. ∴， ∴. 选②：是奇函数，且在上有解， ∴在上有解，且； ∴在R上是增函数， ∴在上有解， ∴在上有解， 令. 由于，∴. ∴， ∴. 19. 已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足： ①函数在是单调函数； ②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”. （1）判断函数，是否存在1级“理想区间”？若存在，请写出其中2个符合题意的区间.（直接写结果） （2）证明：函数存在3级“理想区间”； （3）设函数，，已知函数单调递增，若函数存在级“理想区间”，求的值. 【答案】（1）存在， （2） 设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是. 因为函数在R上单调递增， 所以，即方程有两个不等实根. 设， 可知，，，， 由零点存在定理知，存在，，使，. 设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”. （3）2或3. 【解析】 【分析】（1）直接由“理想区间”的定义判断即可. （2）由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根. 设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间” （3）根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可. 【小问1详解】 存在. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是. 因为，任取 ，且， 有， 因为，所以， 所以 ，即， 所以 函数在上为单调递增函数. 所以 ，于是方程在上有两个不等实根. 即在上有两个不等实根. 显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根. （1）当时，，不合题意，舍； （2）当时，方程无实根，舍； （3）时，, 所以，解出. 所以，又因为，所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $