精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

川大附中高2026级2026-2027学年度上期期中考试试题 高一数学 （时间：120分钟 分值：150分） 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，故. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】，的否定是，. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用负分数指数幂的运算法则对变形，统一式子结构；比较 ，二者底数相同，利用指数函数的单调性比较大小；比较，二者指数相同，利用幂函数的单调性比较大小，进而得到三者的大小关系． 【详解】因为，，， 所以比较和可构造指数函数，由指数函数性质可知该函数在上单调递增， 又，所以，即； 比较和可构造幂函数，由幂函数性质可知该函数在上单调递增， 又，所以，即； 所以，对应选项C． 5. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点， 所以，解得，所以. 结合幂函数的性质可知，因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故选A. 6. 已知函数满足，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 推导出 在上是减函数.再对分段函数的每一段分析其单调性，通过分析分段点处两段函数的大小关系建立关于的不等式，从而解得的取值范围. 【详解】因为且，都有成立，即， 所以函数是上的单调递减函数. 当时，函数单调递减，故. 当时，函数单调递减，故，解得. 且两端函数在分段点处应满足，解得. 综上所述取交集得的取值范围是 7. 已知定义在上的函数满足对任意实数，，均有，且当时，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 函数为增函数 【答案】D 【解析】 【分析】令，代入关系可判断A；令，结合的值可判断B；令可判断C；利用条件“当时”，结合函数关系式，通过作差法分析时与的大小关系可判断D. 【详解】令，代入题给等式得： ，整理后解得，A正确； 令，代入等式得： ，结合已得的， 代入得，即，B正确； 对任意实数，令，代入等式得： ，结合， 整理得，因此函数图象关于点中心对称，C正确； 任取，则由C选项可知： ，即 因此， 因为当时，，所以，即 ， 因此函数为减函数，D错误； 8. 定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，根据不等式性质，可知，故选项A正确； 对于B选项，因为，所以， 又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，故选项B正确； 对于C选项，因为，所以，所以，故选项C错误； 对于D选项，因为，所以， 又，，所以，所以，故选项D正确. 综上所述，选项ABD正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，则 B. “”的一个必要不充分条件是“” C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】由换元法判断A，由集合的关系判断B，由指数类函数恒过定点判断C，由复合函数的单调性判断D． 【详解】对于A， ，则，故A正确； 对于B，因为是的真子集，则“”的一个必要不充分条件是“”，故B正确； 对于C，函数（且）的图象恒过定点，故C错误； 对于D，由，得，则函数的定义域为， 令， 在定义域为单调递增， 函数开口向下，对称轴为， 由复合函数的单调性得，函数的单调递减区间为，故D错误． 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，满足对任意的，总有，则称具有性质.下列说法正确的为（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在，使得函数具有性质 C. 对任意，函数都具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和性质的概念可判断A；根据函数的值域可判断B；根据基本不等式结合性质的概念可判断C；结合性质的概念可得恒成立，进而可得的取值范围，判断D的真假. 【详解】对于A，设是定义在上的偶函数，对任意的，符合定义， 所以所有偶函数都具有性质，故A正确； 对于B，因为， 且的取值范围是， 所以不存在实数，使得恒成立，故B错误； 对于C，对任意的，当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 故对任意的，所以具有性质，故C正确； 对于D，， 易知，因为，所以，则， 所以，即， 所以1，要使得恒成立，则， 又因为，所以，所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算的值为_______． 【答案】7 【解析】 【详解】原式. 13. 若正数x，y满足，则的最小值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件得到，利用“1的代换”，结合基本不等式求解即可． 【详解】由得， 则， 因为，，所以， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号成立， 所以，即的最小值是． 14. 已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知函数的值域为函数值域的子集，从而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案. 【详解】，在单调递减， 当时，的取值范围为， 为复合函数，定义域为，设，则函数是由函数和复合而成，由复合函数单调性可知，在单调递增，在单调递减， 当时，的取值范围为， 由题意可知，所以且，即， 综上，实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2）画出在y轴右侧的图象，写出函数的单调递增区间； （3）若关于x的方程有四个实数根，根据的图象直接写出k的取值范围（无需写出理由）． 【答案】（1）（或）； （2） 单调递增区间为和； （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数，设，，代入已知表达式求出时解析式，写成分段形式； （2）偶函数图象关于轴对称补图，结合抛物线对称轴判断上升区间； （3）看水平线和函数图像有4个交点时，夹在最小值和0之间. 【小问1详解】 当时，，代入左侧解析式得 由为偶函数，，故时． 因此函数解析式为 【小问2详解】 根据偶函数图象关于轴对称，补出轴右侧图象： 右侧图象与左侧关于轴对称．时，，递增区间为．由偶函数对称性，时递增区间为． 故的单调递增区间为和． 【小问3详解】 由图象可知，当时，直线与图象有四个交点，即方程有四个实根，故． 16. 设函数的定义域为集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得到集合，再将代入得到集合，进而根据集合的并集运算即可求解； （2）先由题中条件等价于，再分和两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 由，解得，故D． 当时，． 显然，因此． 【小问2详解】 由等价于，分两种情况： 当时，，解得，满足条件； 当时，，由，则，即， 结合，得． 综上，实数的取值范围是． 17. 近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 【答案】（1）； （2）分钟. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立函数模型并计算解析式即可； （2）由函数的单调性及基本不等式分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意可设（k为常数）， 因为，则， 所以； 【小问2详解】 由，结合（1）可知， 可得， 整理得， ①当时，， 当且仅当时等号成立； ②当时，在上单调递减， 即当时取最大值； 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好. 18. 已知是定义域为的奇函数，且． （1）求实数的值； （2）用定义证明是减函数； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）. （2）任取,且,则 . 由得,所以. 又因为,所以,即. 因此是上的减函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）奇函数在原点有定义,则,代入解析式解方程求出,再把代回验证是否成立. （2）按定义法证明:任取,作差并通分,由单调递增判断分子符号,分母恒正,从而确定差的符号. （3）先用奇偶性把不等式化为的形式,再用单调性转化为关于与的不等式;换元解一元二次不等式,最后由的单调性把的范围还原为的范围. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数,所以. 即,解得. 当时,. 对任意,,即为奇函数,所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数,所以原不等式可化为. 又在上单调递减,所以. 因为,, 所以令,原不等式化为,即,解得. 因为在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递增. 又时;时, 所以等价于,即不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）若． （i）求不等式的解集； （ii）求证：； （iii）若对任意的，，求实数的取值范围． （2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i） （ii）对任意实数，，有， 因为，且，所以，即，证毕． （iii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）分和两种情况讨论，进而即可求解； （ii）根据函数的解析式，化简即可证明； （iii）先结合（ii）将原不等式化为，再结合（i）及二次函数的性质得到的单调性，进而分和两种情况即可求解； （2）先将题中条件等价为，再结合题意得到，从而构造函数，，进而结合对勾函数分析它们的单调性即可求解． 【小问1详解】 当时，， （i）当时，令，解得． 当时，令，即，恒成立，故． 综上，不等式的解集为． （ii）略 （iii）由（ii）知，，原不等式化为， 结合（i）及二次函数的性质易知在上单调递增，因此， ①当时，，不等式化为，即， 若，不等式变为，与条件矛盾，不成立； 若，左边，右边，不等式不能对所有成立； 若，解得，不能满足对任意恒成立． 故时不满足题意． ②当时，，不等式化为，整理得， 进一步变形为． 对任意，，所以， 要使对所有恒成立，则． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由，得， 因为，两边除以正数，得， 不等式有意义的前提是，即， 由在单调递减，故， 所以等价于． 由存在实数满足上式对全部成立，即． 记，在单调递增； 记，由对勾函数性质，在递减，在递增，． ①当时，，， 由，化简得，即，结合，此区间恒成立； ②当时，，， 所以，整理得．解得，结合，得． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高2026级2026-2027学年度上期期中考试试题 高一数学 （时间：120分钟 分值：150分） 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足对任意实数，，均有，且当时，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 函数为增函数 8. 定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，则 B. “”的一个必要不充分条件是“” C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 函数的单调递减区间为 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，满足对任意的，总有，则称具有性质.下列说法正确的为（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在，使得函数具有性质 C. 对任意，函数都具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则的取值范围为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算的值为_______． 13. 若正数x，y满足，则的最小值是_______． 14. 已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2）画出在y轴右侧的图象，写出函数的单调递增区间； （3）若关于x的方程有四个实数根，根据的图象直接写出k的取值范围（无需写出理由）． 16. 设函数的定义域为集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 18. 已知是定义域为的奇函数，且． （1）求实数的值； （2）用定义证明是减函数； （3）解关于的不等式． 19. 已知函数． （1）若． （i）求不等式的解集； （ii）求证：； （iii）若对任意的，，求实数的取值范围． （2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $