贵州省毕节市纳雍县2026-2027学年第一学期高二期中测试数学试题

纳雍县2026～2027学年度第一学期高二期中测试 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A．2 B．5 C． D． 4．两条平行直线和间的距离为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A．4 B．2 C． D．1 7．已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（ ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内所对应的点位于第四象限 10．已知圆和圆，则下列说法正确的是（ ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 11．如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（ ） A．当时，的长为 B．长度的最小值为 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将直线向右平移3个单位长度后得到的直线的一般方程是                         ． 13．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为                 ． 14．已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为                 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）已知锐角三个内角，，所对的边分别为，，，且，，若，求的周长和面积． 17．（本小题满分15分） 某校对2026年高二上学期期中考试数学成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该校高二上学期期中考试数学成绩的80%分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线（）的垂线，垂足分别为，（，分别异于，）． （1）求实数的取值范围； （2）若，用含的式子表示四边形的面积； （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 纳雍县2026～2027学年度第一学期高二期中测试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．解：（1）直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 3分 所求直线方程为，即． 6分 （2）①当直线过原点时，所求直线方程为， 9分 ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 12分 由①②知所求直线方程为或． 13分 16．解：（1） ， 4分 所以函数的最小正周期． 6分 （2）因为，所以． 7分 因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去）， 所以． 9分 又，，所以由余弦定理得， 11分 故的周长为， 13分 的面积为． 15分 17．解：（1）由， 可得． 3分 （2）由（1）知样本数据中数学成绩110分以下的所占比例为， 130分以下的所占比例为， 4分 因此，分位数一定位于内，由， 可以估计样本数据的分位数约为分， 据此可以估计该校高二上学期期中考试数学成绩的分位数约为分． 7分 （3）由题意分数段的人数为， 分数段的人数为， 9分 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在分数段内抽取2人，分别记为，，分数段内抽取3人，分别记为，，． 11分 设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件， 则样本空间，共包含10个样本点， 而事件包含7个样本点， 13分 ， 14分 抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为． 15分 18．（1）证明：取中点，连接，． 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，， 2分 而平面，平面， 所以平面． 3分 （2）解：取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直． 5分 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，， 7分 设平面的法向量为，则， 取，得， 9分 平面的一个法向量为， 则， 10分 故平面与平面夹角的余弦值为． 11分 （3）解：令，， ，， 13分 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 15分 由平面平面，得， 得，解得， 16分 故存在点，使得平面平面，此时． 17分 19．解：（1）圆的圆心为，半径为2， 1分 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以实数的取值范围为． 3分 （2）当时，设，，则，， 由消元整理得， 5分 所以，，， 6分 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 8分 ． 9分 （3）由，，则，，且直线、的斜率存在， 10分 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 13分 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 14分 联立、的方程得， 15分 ， ， 16分 所以， 所以点在定直线上运动． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $