贵州省思南中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年高二上学期数学半期考试 考试时间：120 分钟　满分：150 分　 考查范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．若直线 的斜率为 ，则 的倾斜角 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知椭圆 的一个焦点是 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知直线 与直线 垂直，则实数 的值为（　　） A．　　B． 或 　　C．　　D． 4．下列说法正确的是（　　） A．若定点 满足 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是椭圆 B．若定点 满足 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是椭圆 C．当 时，方程 表示椭圆 D．若动点 的轨迹方程为 ，则点 的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 5．已知向量 ，，则向量 在向量 上的投影向量为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知过点 的直线 与以 和 为端点的线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（　　） A． B．　C．　D． 7．圆 上的点到直线 距离的最大值是（　　） A．　 　B．　　 C．　 　D． 8．已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且 ，，则椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9．已知空间向量 ，，，则（　　） A． B． C． 可以为空间的一组基底 D． 10．已知圆 ，圆 ，则下列选项正确的是（　　） A．圆 的半径为 B． C．圆 与圆 有四条公切线 D．两圆公共弦所在直线方程为 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上的两个动点，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 的面积为 B．存在点 ，使得 C．记 的上顶点为 ，点 异于点 ，若 轴，则直线 与 的斜率之积为 D．若 是圆 上任一点，则 的最小值为 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．点 关于坐标平面 对称的点的坐标是＿＿＿＿＿＿． 13．已知圆 经过坐标原点、 和 ，则圆 的方程为＿＿＿＿＿． 14．如图 1，在等腰直角三角形 中，， 是边 上异于 的点，光线从点 出发，经 、 反射后又回到点 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿ 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分）已知点 ，，． （1）求与直线 平行，且经过点 的直线的一般式方程； 图1 （2）求过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 16．（15 分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在 轴上，一个顶点坐标为 ，离心率为 ． （1）求这个椭圆的方程； （2）若这个椭圆左焦点为 ，右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交椭圆于 、 两点，求 的长． 17．（15 分）如图 2，平行六面体 的底面是菱形，且 ，，，，． （1）用空间的一个基底 表示 ，并求 的长； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值． 图2　 18．（15 分）已知圆 经过 、 两点，圆心 在直线 上． （1）求圆 的方程； （2）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程； （3）设点 满足：存在圆 上的点 ，使得 ，求实数 的取值范围． 19．（15 分）如图 3，在四面体 中， 平面 ，、 分别是线段 、 的中点，点 在线段 上，且 ． （1）求证： 平面 ； （2）当 ， 时，求平面 与平面 夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若 为 内的动点，且 平面 ，当直线 与平面 所成的角最大时，求三棱锥 的体积． 图3　 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析（仅供参考） （一）答案速查 表1　客观题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B C D B C A 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 A ACD ABD BCD 或 表2　解答题答案 题号 主要结果 15（13 分） （1）；（2） 或 16（15 分） （1）；（2） 17（15 分） （1），；（2）余弦值为 18（15 分） （1）；（2） 或 ；（3） 19（15 分） （1）证明见解析；（2）；（3） （二）单项选择题解析 1．【答案】D 【解析】由斜率的定义，。因为 ，所以 ，故选 D。 2．【答案】B 【解析】焦点在 轴上，故 ，且 、。由 及 得 ，故选 B。 3．【答案】C 【解析】两直线垂直的充要条件为 ，即 解得 ，，故选 C。 【易错】直接用 时须先排除斜率不存在与斜率为零的情形，本题用一般式的垂直条件更稳妥。 4．【答案】D 【解析】A 中 ，动点 的轨迹是线段 （含端点），不是椭圆；B 中 ，轨迹不存在；C 中当 时，，方程化为 ，表示圆而非椭圆，故 C 错；D 中 ，，，，焦点为 ，正确。故选 D。 （三）多项选择题解析 5．【答案】B 【解析】，，故 在 上的投影向量为 故选 B。 6．【答案】C 【解析】过点 与 的直线斜率为 ；与 的直线斜率为 。线段 与 轴的交点纵坐标约为 ，即线段整体位于点 的上方，且 在 右侧、 在 左侧。当直线绕 由 逆时针转到 时，斜率取遍 与 ，故 选 C。 7．【答案】A 【解析】直线 可化为 ，故 恒过定点 。圆心 到 的距离 圆心到 的距离 ，圆上点到 的距离的最大值为 ，当 时取到最大值 ，故选 A。 8．【答案】A 【解析】由 得 。设 ，，则 所以 ，从而 。 在直角三角形 中，，故 又 与 关于原点对称，，于是 即 ，所以 选 A。 9．【答案】ACD 【解析】，A 正确；若 ，则 ，矛盾，B 错误；由 知三向量不共面，可作为空间的一组基底，C 正确；，故 D 正确。故选 ACD。 10．【答案】ABD 【解析】圆 化为 ，圆心 ，半径 ，A 正确；，B 正确；因为 ，两圆相交，只有 条公切线，C 错误；两圆方程相减得 ，即 ，D 正确。故选 ABD。 11．【答案】BCD 【解析】，，，。 A 中，由焦点三角形面积公式 A 错误。 B 中，设 在短轴端点 处，此时 即 ；而当 趋近长轴端点时该角趋近 。由连续性，存在点 使 ，B 正确。 C 中，设 ，，，则 由 得 ，故 C 正确。 D 中，，故 设圆心为 ，半径 ，则 ，且 所以 当 为线段 与椭圆的交点、 在线段 上时取等号，故最小值为 ，D 正确。故选 BCD。 （四）填空题解析 12．【答案】 【解析】关于坐标平面 对称，、 坐标不变， 坐标变为相反数，故所求点为 。 13．【答案】（一般式：） 【解析】设圆的一般方程为 。代入原点得 ；代入 得 ，；代入 得 ，即 ，。故圆的方程为 即 ，圆心 ，半径 。 14．【答案】 或 【解析】以 为原点， 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建系，则 ，，，，。设 ，由 得 。 设 关于 轴的对称点为 ，关于 的对称点为 。由光路可逆与展开原理，、、 三点共线，故 即 ，整理得 解得 或 。两种情形下反射点均落在线段 、 上，且 异于 、，故 或 。 【校订】原答案只填 ，并以“结合图形比例”舍弃 ，但 同样满足反射条件与点的位置要求，答案应写为“ 或 ”。 （五）解答题解析 15．【答案】（1）；（2） 或 【解析】（1），所求直线过 ，故 化为一般式得 。 （2）当截距为 时，直线过原点，斜率为 ，方程为 ，即 当截距不为 时，设方程为 ，代入 得 ，，方程为 综上，所求直线为 或 。 【评分参考】（1）求斜率 2 分，写点斜式 2 分，化一般式 2 分，共 6 分。（2）截距为 的情形 3 分，截距不为 的情形 3 分，结论 1 分，共 7 分。漏解扣 3 分。 16．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由顶点 在 轴上得 。由 得 ，故 椭圆方程为 。 （2），直线方程为 。代入椭圆方程得 整理得 设 ，，则 由弦长公式 【评分参考】（1）求 、、 共 4 分，写出方程 2 分，共 6 分。（2）设直线并代入 2 分，韦达定理 3 分，弦长公式 3 分，结果 1 分，共 9 分。 17．【答案】（1），；（2） 【解析】由底面是菱形及 得 ，且三个夹角均为 ，故 （1）由 ，，得 于是 所以 。 （2），，则 所以 ，两异面直线所成角的余弦值为 ，即所成角为 。 【评分参考】（1）写出 的表示 3 分，计算 3 分，结果 1 分，共 7 分。（2）表示两向量 3 分，数量积运算 3 分，结论 2 分，共 8 分。 18．【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 【解析】（1）设圆心 ，由 得 即 ，解得 。故 ， 圆 的方程为 。 （2），设 ，即 。由 及 知半弦长为 。圆心到 的距离 由 得 ，即 ，解得 或 。故 （3），，条件化为 即直线 。圆上存在点 满足条件的充要条件是圆心 到该直线的距离不超过半径 ： 即 ，解得 ， 故 的取值范围为 。 【评分参考】（1）列方程求 3 分，求半径并写出方程 2 分，共 5 分。（2）求弦心距与 4 分，写出两条直线 1 分，共 5 分。（3）转化为直线方程 2 分，距离不等式 2 分，结果 1 分，共 5 分。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】因为 ，，所以 ，即 。又 平面 ，故可以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴方向建系，则 由中点坐标得 ，；由 得 （1）。平面 的法向量 ，则 故 与平面 平行。又点 的竖坐标为 ，即 平面 ，所以 平面 。 （2）平面 的法向量 。，。设平面 的法向量为 ，则 取 ，得 ，，即 ， 所以 即两平面夹角的余弦值为 。 （3）因为 既在平面 内又在平面 内，两平面的交线过 ；由 平面 知交线与 平行，故 。又 取方向 ，设 平面 的法向量 ，，则 要使 最大，只需 最小，而 当 时取最小值。此时 关于 的重心坐标为 ，各分量均为正， 确在 内部。 三棱锥 的体积 由 ，， 计算得混合积的绝对值为 ，故 【评分参考】（1）建系并写出各点坐标 1 分，求 与法向量关系 2 分，说明 平面 并下结论 1 分，共 4 分。（2）求 3 分，求夹角余弦 2 分，共 5 分。（3）得 并设 2 分，求 2 分，求体积 2 分，共 6 分。 学科网（北京）股份有限公司 $