精品解析：贵州安顺市三联高级中学（衡秀高级中学）2026-2027学年度高二上学期期中考试数学试题

2026-2027学年度贵州省安顺市三联高级中学高二上期数学期中考试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分）. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，又，则. 2. 已知复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】， 则复数对应的点的坐标为，该点位于第二象限. 3. “幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个命题成立时的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设命题：幂函数在单调递增，当为真命题时，， 命题：指数函数 在上单调递增，当为真命题时，， 判断充分性：若成立即，取，此时指数函数 在上单调递减， 即不成立，充分性不成立. 判断必要性：若成立即，则命题成立，必要性成立. 综上所述，是的必要不充分条件. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算角的正余弦值，再利用正弦的两角和公式展开计算． 【详解】由角的终边与单位圆交于点，可得； 由两角和公式可知． 5. 设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 6. 在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，已知，，， ，所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆锥， 底面半径为，高为，母线长为， 所以. 7. 过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因>，点在圆外，切线有 条. ① 当斜率不存在时，直线恰与该圆相切，故一条切线方程为； ②设斜率为 的切线方程为 ，即 ， 由圆心到该直线的距离等于半径可得，解得 ， 即另一条切线方程为 ，即 . 综上，过点的圆的切线有两条，分别是或. 8. 一组数据如下：1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的平均数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】数据的平均数为， 若，则这组数据为，众数为和，平均数为，，，不合题意； 若，则这组数据为，众数为4，平均数为，，不合题意； 若，则这组数据为，众数为和8，平均数为，，，不合题意； 所以不能取，故这组数据的众数为4，则，解得， 所以这组数据为， 因为，所以这组数据的第60百分位数是7. 二、多选题（每小题6分，共18分）. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据不等式的基本性质利用作差法判断B；根据对数函数的单调性判断C；根据对勾函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由，且函数在上为减函数， 则，故A错误； 对于B，由，则， 所以，故B正确； 对于C，由，且函数在上为增函数， 则，故C正确； 对于D，由对勾函数的性质可知，函数在上为增函数， 而，则，故D正确. 故选：BCD 10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、，列举出样本空间以及事件、，结合古典概型的概率公式可判断AB选项；利用互斥事件的定义可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、， 则样本空间为 ， 事件， ， 对于AB选项，由古典概型的概率公式可得，，A对，B对； 对于C选项，，故与不互斥，C错； 对于D选项，，故与不独立，D错. 11. 已知直线4x+3y-12=0与x轴、y轴交于A，B两点，点 P 为圆C: 上的动点，则（ ） A. 直线AB与圆C 相切 B. 若点 P 到直线AB 的距离为1，这样的点 P 有2个 C. 当∠PBA 最小时， D. 的最大值为14 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出A、B坐标及圆C的圆心、半径，用点到直线距离公式验证A，用圆上点到直线的距离范围验证B，用点到圆心和切线长公式验证C，用圆的参数方程、向量数量积坐标运算、辅助角公式验证D. 【详解】由题直线与坐标轴交点，，圆圆心，半径. 对于A，圆心到直线的距离，直线与圆相离，A错误； 对于B，圆上点到直线的距离范围是， 距离为1时，平行于且距离为1的直线中，靠近圆心的直线到的距离为，与圆交于2个点， 远离圆心的直线到的距离为，与圆无交点，共满足条件的点有2个，B正确； 对于C，，当最小时，为圆的切线， 切线长，C正确； 对于D，设，，， 则，其中， 则最大值为，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算向量差，利用向量平行的坐标条件列方程，解方程即可求解. 【详解】已知，，则， 因为，则有，整理后，解得. 13. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 即， 所以， 则m的取值范围是． 14. 在体积为的圆柱内放入一个球，则该球表面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，由题设可得，分析要使球体的表面积最大，则应取，进而结合球的表面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 又圆柱的体积为，得，即， 要在圆柱内放入一个球，设球的半径为，则，即， 要使球的表面积最大，则应取， 则，即， 代入得. 即该球表面积的最大值为. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先用二倍角、辅助角公式统一化为单角正弦型，再套周期公式求值； （2）整体代换正弦函数增区间，解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由（1）知， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． 16. 在中，角所对的边分别为，已知，，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）. （2）6 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直关系建立的三角函数关系式，通过特殊的三角函数值即可求解； （2）通过三角形的面积公式以及余弦定理，可得的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 由，得，即， 若，则，与矛盾，故， 由此可得，又，故. 【小问2详解】 由(1)知，结合三角形面积公式得，化简得， 由余弦定理得，整理得， 代入，得，解得，负根舍去， 故的周长为. 17. 江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求a的值； （2）求B品种小麦千粒重的中位数； （3）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得， （2）根据中位数的求法求得品种小麦千粒重的中位数， （3）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 根据题意可得 ，解得； 【小问2详解】 设品种小麦千粒重的中位数为， 由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为. 【小问3详解】 法一：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于， 则又相互独立， 所以 . 法二：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于 又相互独立，所以相互独立， ， . 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）取的中点为，连接，，， 为的中点， ，， 又为的中点，在正方形中，，， ，，四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形，证线线平行，得到线面平行， （2）求平面法向量，利用线面角向量公式计算正弦值， （3）求出两个平面的法向量，用二面角向量公式求夹角余弦. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点、为轴、为轴、为轴建立直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量， ，取，则， 设与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 由（2）可得：，，， 设平面的法向量， ，取，则， 设两平面夹角为， 则. 19. 已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在， 【解析】 【分析】（1）设动点，因为与的比为，所以根据两点间距离公式列等式，整理后得到曲线的方程，再根据圆的标准方程特征判断曲线形状即可. （2）①根据题意分析出P，D，Q，R四点共圆，进而得出点Q，R为两圆交点 ，再写出两圆的相交弦，即为直线QR的方程，即可得出直线经过定点; ②由题设分析出点在以为直径的圆（除去点）上，且轴，从而得出与重合时，△ADN的面积最大，即可得点的坐标. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在，，理由如下： 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上， 即以为圆心、半径为的圆（除去点）上， 且轴，则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度贵州省安顺市三联高级中学高二上期数学期中考试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分）. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 一组数据如下：1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的平均数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 12 二、多选题（每小题6分，共18分）. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 11. 已知直线4x+3y-12=0与x轴、y轴交于A，B两点，点 P 为圆C: 上的动点，则（ ） A. 直线AB与圆C 相切 B. 若点 P 到直线AB 的距离为1，这样的点 P 有2个 C. 当∠PBA 最小时， D. 的最大值为14 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则____________． 13. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 14. 在体积为的圆柱内放入一个球，则该球表面积的最大值为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间． 16. 在中，角所对的边分别为，已知，，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求a的值； （2）求B品种小麦千粒重的中位数； （3）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $