精品解析：山西省太原市2025-2026学年高一上学期期中学业诊断数学试题

2025~2026学年第一学期高一年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午2∶30—4∶30） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有，则称函数是区间上的凸函数.下列函数不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 不等式的解集是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象必过定点_____． 13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围_____. 14. 将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 计算下列各式 （1）； （2）； （3）已知，求的值. 17. 某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. （1）将每日利润表示为销售单价的函数； （2）当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ （3）当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 18. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）根据定义证明：是增函数； （3）解不等式：. 19. 已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有；④. （1）求的值； （2）证明：是减函数； （3）解不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高一年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午2∶30—4∶30） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交集运算求集合. 【详解】由. 故选：A 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值举反例，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】当时，，A错， 当时，无意义，B错， 当时，，C错， 由，D对. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得到或，再通过集合间的关系即可判断. 【详解】或， 集合是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故定义域为. 故选：C 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，. 故选：B 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性确定区间单调性，再由不等式等价于或，应用单调性求解集. 【详解】由偶函数的对称性，且在上单调递减，则在上单调递增， 又，则等价于或， 所以或，故解集为. 故选：C 7. 若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 8. 设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有，则称函数是区间上的凸函数.下列函数不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各函数解析式，应用作差法、基本不等式、指数的运算性质比较大小，即可判断. 【详解】对于且，， 而， 当且仅当时取等号，故，A不是； 对于， ，当且仅当时取等号，B是， 对于， ，当且仅当时取等号，C是； 对于， ，当且仅当时取等号，D是. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数所过的点求得，即可判断A、B、C，再解不等式求解集判断D. 【详解】令，则，得，故，则，A错； 所以函数的定义域为， 且为偶函数，B对； 在上单调递增，在上单调递减，C错； 由或，故的解集为，D对. 故选：BD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数解析式依次求出、、、，结合各项判断正误. 【详解】当，，A错， 当且，，B对， 当，，C对， 当，，D错. 故选：BC 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】AC 【解析】 【分析】由奇函数的性质求函数值和解析式判断A、B，利用题设函数关系式求上的解析式，利用递推关系得到且，再分类讨论求解不等式判断C、D. 【详解】由为的奇函数，则，A对， 令，则，所以，B错， 由，则，且，C对， 当，则，则， 当，则，则， ， 依次类推， 当，，有， 当，，有， 所以且，显然， 当，，若， 而，显然在上恒成立， 当，，若， 当时，，则，显然不等式恒成立， 当时，，则，此时不等式解集为， 当且，时，无解， 综上，的解集为，D错. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】对于的图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于在R上单调递减，而在R上为减函数， 综上，，可得. 故答案为： 14. 将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用两次基本不等式求出的最小值，再建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】若，则恒成立， 令，则可化为， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时， 则，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得（负根舍去）， 代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足， 即，可得，解得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的并运算求集合； （2）由（1）得，再根据包含关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 或，， 或或； 【小问2详解】 由（1）得， ，分、两种情况如下， 或， ，实数的取值范围为. 16. 计算下列各式 （1）； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ，则， . 17. 某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. （1）将每日利润表示为销售单价的函数； （2）当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ （3）当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【答案】（1）， （2）当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元 （3），最大值20 【解析】 【分析】（1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. 【小问3详解】 由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 18. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）根据定义证明：是增函数； （3）解不等式：. 【答案】（1）； （2） ，，且， 则， ， ， ，， ， ， ， 在上是增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求参数，注意验证即可； （2）利用单调性的定义判断证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意的定义域是， 是上的奇函数， ，即， ，则， ， 是上的奇函数， 综上，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，整理得，则， 令，整理得，则， 在上是增函数， 原不等式的解集为. 19. 已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有；④. （1）求的值； （2）证明：是减函数； （3）解不等式：. 【答案】（1）2 （2） 对，，且，则， 可得，， 则， 所以在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】 （1）根据题意利用赋值法求函数值即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得原不等式等价于，结合单调性分析求解即可. 【小问1详解】 因为对于任意的，，都有，且， 令，，则，可得； 令，，则，即，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意的，，都有， 令，可得； 令，可得； 令，可得， 且，可得， 所以原不等式等价于， 由（2）可知在上是减函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $