辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

东北育才高中2026一2027学年度上学期 高二年级数学期中考试试卷 答题时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.化简方程√x2+(y+3)7+√x2+y-3)2=10为不含根式的形式是() A若+=1 B云+芳=1c号+若-1D后+1 2.如图，在四面体0ABC中，OA=d,OB=b,OC=C.点M在 OA上，且OM=2MA,N为BC中点，则MN等于() A五-五+ B五+6+ c五+五- D五+6- 3.直线l1:ax-y+2025=0,l2:(3a-2)x+ay-2a=0,若l11l2,则实数a的值为 () A.0 B.1 C.0或1 D.域1 4.己知点P(0,2)关于直线x-y+1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+2x+m=0外，则实 数m的取值范围是() A.m>-4B.m<1C.-4<m<1D.m<-4或m>1 5.己知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16有三条公切线，则动圆圆心的轨迹 方程是() A.(x-5)2+y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=9 C.(x-5)2+y+7)2=15 D.(x+5)2+y-72=25 高二数学期中试卷第1页，共4页 6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA11平面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°，D是棱BC上的 动点，直线A1D与平面ABC所成角的最大值是45°，点P在底面三角形ABC内， 且A1P=V2,则点P的轨迹长是() A君 B c智 D.2π 7.己知P(x,y)是圆x-1)2+y2=r2(r>0)上任意一点，若3x+4y川+|3x+4y-8l是 定值，则实数r的取值范围是() A.0<r≤ B.G≤r≤1 Csr≤1 D.0<r≤青 8已知P1小F为桶圆总+步=1a>b>0)的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满 足∠F1PF2=60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心 率为() A号 B ai D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.平面直角坐标系中，曲线E的方程为：x4+y4=1则() A.曲线E与x轴有4个公共点B.曲线E关于原点O对称 C.曲线E上的点都在某个矩形内D.曲线E上的点到原点O的距离均为1 10.下列说法正确的是() A.若空间中的非零向量a,b夹角为钝角，则a·b<0 B.若直线的方向向量为(1,2,3)，平面a的法向量为(1，-2,1)，则/Q C.己知a,b,是空间的一组基底，若m=a+C,则a,b,m也是空间的一组基底 D.0为空间任意一点，A,B,C是不共线的三个点，若AP=-0A+0B+t0C,且 A,B,C,P四点共面，则实数t等于 高二数学期中试卷第2页，共4页 1.已知椭圆C:兰+台-1(0<b<2)的左右焦点分别为F1、P:点P(2,1)在椭圆内 部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为，则以下说法正确的是() A离心率e的取值范围为(0，) B当e-时，1Q+1QPI的最大值为4+号 C存在点Q,使得Q丽·Q正=0D0+0的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12经过椭圆号+号-1的左焦点F,作直线交椭圆于A,B两点，F,为椭圆的右焦点，则 △AF2B的周长为 13.在空间直角坐标系0-xyz中，经过点P(xo,yo,zo)且方向向量为元=(X,Y,Z)XYZ≠0) 的直线方程为文==会，己知空间中一条直线仿程为x-1=4-y=号，则点 A(4,3,3)到直线的距离为 14.己知圆0：x2+y2=4上有一动点P,记点P到直线l:x-y-4=0的距离为d0,平 面上有一定点A(-2W2,2W2),则PA+d的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知直线L1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0,其中m为实数. (1)当l1//l2时，求直线l1,2之间的距离： (2)当m=1时，求过直线l1,l2的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程. 16.(本小题15分) 已知圆C1:x2-4x+y2=0和圆C2:x2+4x+y2-60=0 (1)判断圆C1和圆C2的位置关系并说明理由； (2)过点A(4,3)作圆C1的切线，求此切线的方程： (3)动圆M在圆C2的内部，并且与圆C2内切与圆C1外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程. 高二数学期中试卷第3页，共4页 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD为平行四边形， AB=AD=AP=2,四棱锥P-ABCD的体积为 (1)证明：平面PCD1平面PAD; D (2)平面PBC内是否存在点H使得DHI平面PBC? 若存在，求出点H到平面PDB的距离；若不存在，请说明理由. 18.(本小题17分) 如图，在圆锥PO中，P是圆锥的项点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径， OA=OP=2,T是圆O上的动点（异于点A,B),C是劣弧TB的中点，D是BP的中点. (1)证明：CD/平面APT; (2)若AT=TC=CB,求直线BT与平面PAT所成角的正弦值； (3)若平面APT和平面BPT的夹角为6，求cos6的最大值. 19.(本小题17分) 已知动点M与两个定点P(怎.0)Q(2.0)的距离的比为时即-三记动点M的载迹 为曲线T. (1)求曲线Γ的方程，并说明其形状： (2)设F为直线3x+4y-10=0上一点，过点F作曲线T的切线，切点分别为G,H, 求FG.F五的取值范围： (3)设A(-1,0),B(1,0),E为直线x=2上的动点，EA,EB分别与曲线T交于点 C,D(CD均异于AB),求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标 高二数学期中试卷第4页，共4页东北育才高中2026一2027学年度上学期 高二年级数学期中考试试卷答案 一、单选题： D B CC A B A C 二、多选题： 9.BC10.ACD 11.ABD 三、填空题： 12. 12 13.5 14.2W2+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知直线l1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0,其中m为实数， (1)当l1/儿2时，求直线l1,12之间的距离： (2)当m=1时，求过直线l1,l2的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程. 【答案】解：(1)因为直线l1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0, /仍时，则吗=2+名解得m=2. ….3分 此时直线l2的方程为2x+3y+1=0, 所以两条直线间的距离d=-2-斗=3区」 V22+32 13 .6分 (2)当m=1时，则直线l2的方程为：x+y+1=0, 联160，解x-5y=4 即两条直线的交点P的坐标为(-5,4， ………9分 又因为所求的直线垂直于x-2y+4=0,设所求的直线方程为2x+y+Q=0, 将P点的坐标代入可得2×(-5)+4+a=0,解得a=6. 所以直线的方程为2x+y+6=0. .13分 16.(本小题15分) 已知圆C1:x2-4x+y2=0和圆C2:x2+4x+y2-60=0 (1)判断圆C1和圆C2的位置关系并说明理由； (2)过点A(4,3)作圆C1的切线，求此切线的方程： (3)动圆M在圆C2的内部，并且与圆C2内切与圆C1外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程. 【答案】解：(1)内含关系 …….1分 第1页，共7页 圆C1:x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4的圆心为C1(2,0),半径为r1=2 圆C2:x2+4x+y2-60=0,即(x+2)2+y2=64的圆心为C2(-2,0),半径为r2=8 |C1C2l=4<r2-r1,所以圆C1内含于圆C2 ………….5分 (2)圆C1:x2-4x+y2=0的圆心为C1(2,0),半径为r1=2, 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k,则切线的方程为y一3=k(x一4)， 即：kx-y-4k+3=0, 圆心(20)到切线的距离等于半径2即：32尝=2→k=高 Vk2+1 则切线方程为品x-y+专=0，化简可得5x-12y+16=0: ......8分 当切线斜率不存在时，显然x=4满足要求 切线方程为：5x-12y+16=0或x=4. …………..10分 (3)圆C2:x2+4x+y2-60=0,圆的圆心C2(-2,0),半径r2=8, 设M(x,y),动圆的半径为r, MC1l=2+r,IMC2l=8-MC1+MC2l=10>4=IC1C2l, ∴.M点的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆， a=5,c=2,b=,筑迹方程为号+号-1. …………,15分 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形，AB=AD=AP=2,四棱锥 P-ABCD的体积为8 3 (1)证明：平面PCD⊥平面PAD: (2)平面PBC内是否存在点H使得DH⊥平面PBC？若存在，求出点H到平面PDB的距离；若不存在， 请说明理由. D B 【解答】(1)证明：因为PAL平面ABCD,所以四棱锥P-ABCD的高为PA=2, 又四枝锥P-AacD的体积为管所以-m2A号即Sam=4 3 3 因为AB=AD=2,所以平行四边形ABCD是菱形， 第2页，共7页 所以菱形ABCD的面积为AB·AD·sin∠BAD=4sin∠BAD=4,即sin∠BAD=1, 所以∠BAD=90°，故底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD, 又PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 而PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以CDL平面PAD, 又CDC平面PCD,所以平面PCDL平面PAD. ….6分 (2)解：由(1)知，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 故以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， y D 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), P(0,0,2),所以PB=(2,0,-2),PC=(2,2,-2), 设PF=PB+uPC=(21+2,2,-21-2),其中1，L∈R, 则H(2元+2,2，-21-2+2)，所以DH=(21+2,2-2,-21-2+2), 因为DH⊥平面PBC,所以DH⊥PB,且DH⊥PC, 所以Di.PB=2(21+20-2(-21-2+2)=0,得81+84=4， Di.PC=2(2元+20+2(2μ-2)-2(-21-24+2)=0，得8元+12=8， 联立 81+12=8,解得u=1,元=-1 8入+8u=4 2 所以存在点H,使得DH⊥平面PBC,此时HQ,2,1), ……….11分 所以PB=(2,0,-2),PD=(0,2,-2), PB.ii=2x-2z=0 设平面PDB的法向量是i=(x,y,z),则 PD.ii=2y-2z=0 取元=1,1,1)，又PH=(1,2,-1) 所以点H到平面PDB的距离d-1P顶元_22V5 1训5-3 ………….15分 第3页，共7页 18.(本小题17分) 如图，在圆锥PO中，P是圆锥的项点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，OA=OP,T是圆 O上的动点（异于点A,B),C是劣弧TB的中点，D是BP的中点. (1)证明：CD/平面APT; (2)若A7=TC=CB,求直线BT与平面PAT所成角的正弦值： (3)若平面APT和平面BPT的夹角为0，求cosθ的最大值. 【解答】(1)证明：连接OD,OC,OT,如图所示， 由题意知，OD为△PAB的中位线，所以OD/1PA, 因为AB是圆锥底面圆的直径，T是圆O上的动点（异于点A,B) C是劣弧B的中点，所以∠BAT=1∠BOT=∠BOC, 所以OC11AT,又OC∩OD=O,OC,ODc平面OCD, PA∩AT=A,PA,ATC平面PAT, 所以平面OCD/平面PAT,而CDC平面OCD, 所以CD//平面PAT. .....5分 (2)解：若AT=TC=CB,则∠AOT=∠T0C=∠COB=60°， 因为PO⊥圆锥底面，AB在圆锥底面内，所以PO⊥AB, 故以O为原点，OB,OP所在直线分别为y,z轴，过O且垂直于AB的直线为x轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 设OA=OP=2,则B(0,2,0),T(W3,-1,0),P(0,0,2),A(0,-2,0), D 所以B7=(3,-3,0),AP=(0,2,2),A7=(V5,1,0), 设平面PAT的法向量为元=K,),则万P=2y+2z=0 i.A7=√3x+y=0 令x=1,得i=I,-√3，√3)，设直线BT与平面PAT所成角为B, 第4页，共7页 则mBco8<B7,i117列- 452万 |BT1-2N5×√77 故直线Br与平面2AT所成角的正弦值为27 7 .10分 (3)解：在(2)中坐标系下，因为点T在圆O:x2+y2=4上运动，所以不妨设T(2cosa,2sina,0), 0-<2元，a≠7且a≠3 2 2 则PT=(2cosa,2sina,-2),AP=(0,2,2),BP=(0,-2,2), 设平面4PT的法向量为m=(4,,),则严·严=2+2名=0 mPT=2x cosa+2y sina-2z=0 令z1=cosa,则片=-cosa,x1=1+sina,所以%=1+sina,-cosa,cosa), 设平面BPT的法向量为%=k,5,),则匹F-2,+2名=0 m.PT=2x cos a+2y,sina-2z=0 令3=cosa,则y2=cosa,x2=1-simn,所以m2=1-sina,cos,cosa), 因为平面APT和平面BPT的夹角为6， 所以cos0c0sm,吗水% 1-sin'a ·| (1+sin a)2+2cosa.(1-sina)2+2cos a 1-sin a 3-sina+2sina.3-sin a-2sin a 1-sin'a 1-sin'a ……..15分 (3-sin a)-4sin'a sin a-10sin'a+9 令1=1-sin'a,则sin2a=1-t,因为0≤a<2m,a≠T且a≠3r 2 2 所以0≤sin2a<1,所以0≤1-t<1,即0<t≤1， t t1 所以c0s0= V0-0°-100-0+9VP+&8' 由0<t≤1，得之1，当}1时，即ma=0时，cs0取得最大值}……17分 第5页，共7页 19.(本小题17分) 已知动点M与两个定点P(作，0)，Q2,0)的距离的比为5即调-克记动点M的轨迹为曲线r, (①)求曲线T的方程，并说明其形状： (2)设F为直线3x+4y-10=0上一点，过点F作曲线I的切线，切点分别为G,H,求F元.F的取值范 围； (3)设A(-1,0),B(1,0),E为直线x=2上的动点，EA,EB分别与曲线T交于点CD(CD均异于 AB),求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标. 【解答】(1曲线Γ：x2+y=1, …3分 圆心在原点，半径为1的圆 ………4分 (2)由相切，知OG1FG,OH1FH, 设20FG=a10F=20≥2，圆半径r=1,则sima= FG.FH FG.FH.cosGFH |FG2.cos 2 a=(1OF2-1)(1-2sin2 a) =2-1)(1-为)=2+是-30≥2) .8分 令2=tt≥4)，则y=t+2-3在[4+∞)单增，故F元.F丽24+2-3= 当且仅当t=4时取等号，：.FG.F的取值范围是 00 ...10分 (3)依题意可得直线CD的斜率不能为0，则可设直线CD:x=y+n. =+得(m2+1)y2+2m0w+-1=0, 由 x2+y2=1, 则△=42n2-4(m+1)(n-1)=4(m2-2+1)>0,即m2-2+1>0. 设C5D%,.则g+为=% n2-1 2+1 …….12分 m1*) 又因为直线CA:y(+,直线D8:y=). +1 所以将+代y产)， x+1 得+1+-(++_m+0+1y x-1y(x3-1)(y2+n-1)y2+(n-1)4 第6页，共7页 E2+++9-产++2m62+D ry+)+m-y1-r++2n-1店 _（1+n[1-2)y+(1+m)y]_1+n (1-n(1-n)4+(1+n)为1-n 又因为直线C4,DB的交点在直线x=2上，所以？+1+”， 2-11-n 解得n= 直线CD过定点，该定点的坐标为(，0) ……….17分 第7页，共7页