精品解析：辽宁沈阳市联合体2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第五节． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一般式可得直线的斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】设该直线的倾斜角为，其斜率， 由可知. 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点坐标为，利用坐标法表示空间距离相等即可求出结果. 【详解】由题知，设点坐标为， 因为，即， 所以， 解得，即点的竖坐标为. 3. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合已知的两焦半径的比例关系，列方程求解的长度. 【详解】 已知椭圆，可得，即， 根据椭圆的定义，有， 已知，设，， 所以，解得，因此，故C正确. 4. 如图，在三棱锥中，点，满足，，记，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加减法法则及数乘运算，将向量 用基底 表示出来，从而确定 的值. 【详解】由题意可知，在三棱锥 中， 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . ， . 将 和 代入上式，得： ，整理得： 又因为已知 ， 可得： . 所以， . 5. 若直线经过平移后恰好经过椭圆：的两个顶点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线平移不改变斜率的性质，结合椭圆顶点连线的斜率与原直线斜率相等建立、的关系，进而计算椭圆离心率. 【详解】将直线方程整理得：，可得. 平移后直线斜率不变，椭圆顶点为，该直线只能过一个轴顶点、一个轴顶点. 取，两点连线斜率：， 椭圆离心率：. 6. 设直线与直线的方向向量共线，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知与的斜率相等，则，解得或2，再利用两平行直线的距离公式求解即可． 【详解】由与的方向向量共线可知与的斜率相等，故， 解得或2，代回得到或， 故与之间的距离或． 故选：B． 7. 在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，分别表示，然后利用两向量数量积公式的变形直接求解即可. 【详解】由题知，为等腰直角三角形， 则，， 设， 则， 又， 所以， 又， 且， 所以， 且， 且， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 8. 已知圆：，圆：．若圆上存在点，使得过点可作圆的两条切线，切点分别为，，且．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的轨迹方程，再利用两圆有交点计算即可. 【详解】 如图所示，圆：，圆心为，半径为， 圆：，圆心为，半径为， 由题意得：，，， 所以，则，， 设，则，即：点的轨迹方程是圆， 则原题等价于和有公共点， 圆和圆圆心距为：，若两圆有交点，则需满足：，解得：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的基底概念，结合共面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】对于A，假设，则， 因不共面。故，该方程无解，故不共面，可作为空间向量的一个基底，故A不符合题意； 对于B，因，故不能作为空间向量的一个基底，故B符合题意； 对于C，因，故不能作为空间向量的一个基底，故C符合题意； 对于D，因，故不能作为空间向量的一个基底，故D符合题意. 故选：BCD. 10. 关于方程，下列说法正确的有（ ） A. 若该方程表示圆，则 B. 若该方程表示椭圆，且其焦点在轴上，则 C. 若该方程表示椭圆，且其焦点在轴上，则 D. 若该方程表示两条直线，则， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、直线的特点分析判断. 【详解】当且时，， A选项，若该方程表示圆，则，即：，所以A选项正确； B选项，若该方程表示椭圆，且其焦点在轴上，则，解得：，所以B选项正确； C选项，若该方程表示椭圆，且其焦点在轴上，则，解得：，所以C选项错误； D选项，若该方程表示两条直线，则，或，，所以D选项错误. 11. 在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. B. 四边形是菱形 C. 四边形面积的最小值为16 D. 直线的斜率的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据对称关系求出的坐标，设直线的斜率为，依次求出的坐标，结合几何性质和代数运算逐个分析选项. 【详解】 点关于轴对称的点，关于轴对称的点. 设直线的斜率为，因与轴、轴正半轴相交，故，直线的方程为. 令，解得，故；令，解得，故. 直线过和，斜率为，方程为. 令，得，故； 直线过和，斜率为，方程为. 令，得，故. 选项A：在轴上（纵坐标恒为0），在轴上（横坐标恒为0），轴与轴互相垂直，故，A正确. 选项B：的中点为，的中点为，即对角线互相平分，故四边形是平行四边形；又，因此平行四边形是菱形，B正确. 选项C：的长度为，的长度为，故面积. 因，令， 则，当且仅当即（对应）时取等号， 故四边形面积的最小值为16，C正确. 选项D：直线与轴正半轴相交时，仅需满足（时无法同时让落在正半轴），故的取值范围是，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由点到轴的距离公式计算即可． 【详解】点到轴的距离为. 故答案为：3 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，，则_________；若圆为的内切圆，则圆的半径为__________．（第一空2分，第二空3分） 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】设，则，利用椭圆的定义以及余弦定理计算，再利用公式计算半径. 【详解】由题意得，，则， 则，则， 设，则，则， 得； 因为，， 所以， 则圆的半径为 14. 已知，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，将题设所求转化成求圆弧（，）上的点与点连线的斜率，数形结合分析计算即可求解. 【详解】设，，则（，），， 表示圆弧（，）上的点与点连线的斜率， 如图，连线过，时斜率最大为，连线与圆弧相切时斜率最小，设最小斜率为k， 则此时切线方程为，即， 则，解得（舍去）或，即连线与圆弧相切时斜率最小为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：，直线：，其中． （1）证明：直线恒过定点，并求出的坐标； （2）若直线与圆相切，求的方程． 【答案】（1）已知直线 ，整理得， 要使该方程对任意 都成立，必须满足：，解得， 因此，直线 恒过定点 . （2）或 【解析】 【分析】（1）通过分离参数，令的系数为即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，分类讨论直线的斜率存在和不存在，利用直线与圆相切的条件即可 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 将圆化为标准方程：，则圆心，半径 ， 已知直线 过定点 ，则，即点在圆外， 当直线 的斜率不存在，即时，此时，圆心到直线的距离，所以不是切线； 当直线 的斜率存在，即时，设直线 的方程为 ，即 ， 因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离， 化简得，解得 或 ， 当 时，直线的方程为 ， 当 时，直线方程为 ， 综上所述，的方程为或. 16. 如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． （1）用向量表示向量； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求解即可； （2）用向量表示，根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为，则， 可得， ， 因为，则， 整理可得， 即，整理可得， 因为，所以． 17. 已知圆：，点．过点的直线与圆交于，两点． （1）求弦的中点轨迹方程； （2）若弦的中点在直线上，求直线的方程； （3）求（1）中轨迹上的点到点的距离的最小值； 【答案】（1） 弦的中点轨迹方程为（或一般式）. （2） 直线的方程为. （3） 轨迹上的点到点的距离的最小值为. 【解析】 【小问1详解】 由圆的方程，可得圆心，半径；计算得点到圆心的距离，故点在圆内部. 设弦的中点为，根据圆的垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于弦，即. 由于直线过点，故共线，因此. 根据两直线垂直的向量性质，两垂直向量的数量积为0，即，其中，， 代入得： , 化简得  . 由于点在圆内部，过的任意直线与圆相交所得弦的中点均满足上述方程， 且方程对应的圆上所有点均可作为某条过的直线与圆相交所得弦的中点， 因此该方程即为所求轨迹方程. 【小问2详解】 设弦的中点为，由题意，同时满足轨迹方程和直线的方程， 因此联立方程组  将代入轨迹方程， ，解得，，即中点. 由于直线过点和，两点横坐标相同，故直线的方程为. 【小问3详解】 由(1)可知，所求轨迹是以为圆心，半径的圆. 点到圆心的距离 ， 由于，故点在轨迹圆外， 因此轨迹上的点到的距离的最小值为. 18. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） 由，整理得， 设，则，， 因为， ， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得建立关于的方程组，求解即可； （2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，可得结论； （3）运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 由已知得，解得， 因此椭圆的方程为；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为点到直线的距离，故， 又因为， ， 所以， 设，则，由于， 所以，当，即时，等号成立. 因此，的最大值为. 19. 已知菱形的边长为，．将沿对角线翻折，翻折后点记为，得到如图所示的三棱锥，且翻折后的二面角的余弦值为． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）若点为线段上的动点（不含端点），记四面体的外接球半径为，求的最小值，并求此时的值． 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为；. 【解析】 【分析】（1）利用平面，为二面角的平面角，转化即可； （2）根据已知计算，得到三棱锥为正四面体，根据正四面体的特征和已知条件即可得二面角的余弦值； （3）建立空间直角坐标系，设，，利用即可求点的坐标，再代入即可得到关于的函数关系式，利用二次函数求最值即可. 【小问1详解】 在菱形中，连接交于点，则. 又因为菱形的边长为，， 所以，为等边三角形，. 因为，所以为二面角的平面角，则. 所以. 因为平面，所以平面. 所以 【小问2详解】 在中，. 则在三棱锥中，， 所以三棱锥为正四面体. 根据正四面体的特征，相邻两个面的夹角相等，即二面角与二面角的大小相等. 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 如图，以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系. 则 因为平面，所以点在平面上. 又，所以. 则，设. 则，所以. 设四面体的外接球球心为， 则. 所以，解得 即. 所以 所以当时，取得最小值，即取得最小值. 此时，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第五节． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点，满足，，记，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 5. 若直线经过平移后恰好经过椭圆：的两个顶点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线与直线的方向向量共线，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：，圆：．若圆上存在点，使得过点可作圆的两条切线，切点分别为，，且．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于方程，下列说法正确的有（ ） A. 若该方程表示圆，则 B. 若该方程表示椭圆，且其焦点在轴上，则 C. 若该方程表示椭圆，且其焦点在轴上，则 D. 若该方程表示两条直线，则， 11. 在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. B. 四边形是菱形 C. 四边形面积的最小值为16 D. 直线的斜率的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______. 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，，则_________；若圆为的内切圆，则圆的半径为__________．（第一空2分，第二空3分） 14. 已知，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：，直线：，其中． （1）证明：直线恒过定点，并求出的坐标； （2）若直线与圆相切，求的方程． 16. 如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． （1）用向量表示向量； （2）若，求实数的值． 17. 已知圆：，点．过点的直线与圆交于，两点． （1）求弦的中点轨迹方程； （2）若弦的中点在直线上，求直线的方程； （3）求（1）中轨迹上的点到点的距离的最小值； 18. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 19. 已知菱形的边长为，．将沿对角线翻折，翻折后点记为，得到如图所示的三棱锥，且翻折后的二面角的余弦值为． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）若点为线段上的动点（不含端点），记四面体的外接球半径为，求的最小值，并求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $