精品解析：辽宁大连育明高级中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

大连育明高级中学2026-2027学年度高二年级期中考试数学试题 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 2. 已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为. 故选：C. 3. 过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 4. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 5. 双曲线（）的左、右两个焦点分别是与，焦距为；是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据双曲线的定义计算可得. 【详解】解：依题意，所以，即，因为，且，所以. 故选：B 6. 长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：C 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程求出点的坐标，消去参数得到的轨迹圆；再构造点，把转化为，利用三角不等式求最小值． 【详解】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 8. 如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 C. 过，两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，，若直线：与线段有公共点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A由直线垂直的判定求参数判断；B注意垂直于x轴的直线；C注意垂直于坐标轴的直线；D求直线定点，数形结合法确定有公共点时参数的范围. 【详解】A：直线与直线互相垂，则或，故不是充要关系，错； B：对于垂直于x轴的直线，有倾斜角但无斜率，错； C：对于，显然，即垂直于坐标轴的直线不能用该方程，错； D：由过定点，则图象如下： 则，由图知：时直线与线段有公共点，对. 故选：ABC 10. 若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】因双曲线渐近线方程为：，则. 对于A，双曲线离心率，故A正确； 对于B，虚轴长为，实轴为，则双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，故B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确. 对于D，双曲线C实轴端点为,虚轴端点为. 则对应椭圆方程为：，离心率为，故D错误. 11. 已知直线与椭圆交于、两点，轴，垂足为，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的斜率等于直线的斜率的倍 B. 可能是直角 C. 一定是直角 D. 四边形的面积最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：设，则，，，则可表示出与，即可得解；对B：由题意可得，联立曲线方程，可表示出点坐标，从而可得，计算可得，即可得解；对C：由题意可得，联立曲线方程，可表示出点坐标，从而可得，计算可得，即可得解；对D：借助割补法可得，从而可得，即可得，借助二次函数性质计算即可得解. 【详解】设，则，且，即，， 则，，， 对A：，， 故有，故直线的斜率等于直线的斜率的倍，故A正确； 对B：，联立， 可得，恒成立， 则，故， 则， 故， 又， 则 故不可能是直角，故B错误； 对C：，联立， 可得，恒成立， 则，故， 则， 则， 又， 则 ， 故，即一定是直角，故C正确； 对D：， 则， 故，当且仅当时，等号成立， 故四边形的面积最大值是，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 圆截直线所得的弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把圆的方程化成圆的标准方程，求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，根据垂径定理，利用勾股定理可以求出弦长的一半，最后求出弦长． 【详解】圆心的坐标为（2，-2），半径，圆心到直线的距离，根据垂径定理，可以求出弦长． 13. 已知椭圆离心率的最小值为，其左､右焦点分别为，若P是椭圆上位于y轴右侧的一点，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】设，由椭圆的定义求得，结合，整理得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，点P是椭圆上位于y轴右侧的一点，可得， 设，则， 由椭圆的定义可知，因此， 又因为是右焦点，所以，即，整理得， 所以，解得. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与标准方程，以及椭圆的离心率的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程及几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为.当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由的取值范围为可求出，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出即可得出答案. 【详解】， ，所以， 所以，解得：， 设， 由正弦定理可得：， ， 可得：， 又因为， 设内切圆的圆心为A，所以， 所以，所以， 又因为当在短轴的端点时，最大，此时，， ，所以， 故当时，mn取得最大值为. 故答案为： 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． （1）当点的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； （3）证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 【答案】（1）或 （2） （3）（法一）设点， 则， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点． （法二）设点， 则以为直径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点， 则当点在直线上运动时，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. （3）（法一）设点，利用两点间距离公式求出，得到以为圆心，为半径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点．（法二）设点，求出以为直径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点． 【小问1详解】 圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点， 则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或． 【小问2详解】 设点， 则四边形的面积为： ， 因为，所以． 【小问3详解】 略 17. 已知椭圆的右顶点为，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过定点且斜率不为零的直线与交于两点，关于轴对称的点为. （i）求面积的最大值； （ii）记直线与的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）（i） （ii）因为关于轴的对称点为， 可得直线的斜率，直线的斜率， 所以， 因为，可得， 则，所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设，直线，联立方程组，得到和，求得的面积，令，结合基本不等式，即可求解；（ii）根据题意，求得，化简得到，结合韦达定理，代入化简，即可求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆的右顶点为，且离心率为， 可得，且，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：（i）设直线， 联立方程组，整理得， 则，可得，解得或 设，由韦达定理得，， 则的面积 ， 令，则， 代入可得，当且仅当即时，取等号， 所以面积的最大值为； （ii）略 18. 已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）不存在，理由如下： 设，且， 因为在双曲线上， 所以，两式相减可得 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率 所以直线l的方程为，即 将直线l与双曲线联立，可得，. ，故方程无解. 所以不存在这样的直线l，综上，点不能是线段PQ的中点. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题干中的条件求出长轴长与短轴长即可得到答案. （2）（i）利用点差法求出直线方程再与双曲线联立即可得到是否存在. （ii）联立直线与双曲线得到直线的弦长，即可化简原式即可求出取值范围. 【小问1详解】 设，由于两条渐近线为，则有 到两条渐近线为的距离之积为 则解得 所以双曲线C的方程为 【小问2详解】 （i）略 （ii）设切点，则切线的方程为，且 由，解得，所以 设， 由，消去得，所以, 由，消去y得，所以； 所以， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即 19. P为圆上一动点，点B的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q． （1）求点Q的轨迹方程C； （2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为和，M、N为曲线C上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线与直线相交于点T，直线与直线相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得的面积为定值，并求该定值． 【答案】（1） （2） 如图，设，直线的方程，将其与椭圆方程联立消元整理得： ，且， 由（1）知,设，由三点共线得：；由三点共线得：， 则. 故直线的斜率，则直线的方程为：，将其与直线的方程联立，解得：， 因此点R在定直线上，使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点. 由解得：或，此时点的坐标为或. 故的面积为： 【解析】 【分析】（1）依题意，,可得：,由椭圆定义知，点的轨迹是以点为两焦点的椭圆，求出即得； （2）设出点和直线的方程，与椭圆方程联立消元得韦达定理，设，由三点共线和三点共线得到，从而得到直线的方程，再将其与直线的方程联立，求得点在直线上，要使的面积为定值，须使点为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点，求出点的坐标，即得的面积. 【小问1详解】 因直线的垂直平分线交直线于点Q，则，由可知，点的轨迹是以点为两焦点的椭圆， 且，故，则点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连育明高级中学2026-2027学年度高二年级期中考试数学试题 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线（）的左、右两个焦点分别是与，焦距为；是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 C. 过，两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，，若直线：与线段有公共点，则 10. 若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 11. 已知直线与椭圆交于、两点，轴，垂足为，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的斜率等于直线的斜率的倍 B. 可能是直角 C. 一定是直角 D. 四边形的面积最大值是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 圆截直线所得的弦长为_________． 13. 已知椭圆离心率的最小值为，其左､右焦点分别为，若P是椭圆上位于y轴右侧的一点，则______. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为.当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为__________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 16. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． （1）当点的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； （3）证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 17. 已知椭圆的右顶点为，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过定点且斜率不为零的直线与交于两点，关于轴对称的点为. （i）求面积的最大值； （ii）记直线与的斜率分别为，证明：为定值. 18. 已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 19. P为圆上一动点，点B的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q． （1）求点Q的轨迹方程C； （2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为和，M、N为曲线C上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线与直线相交于点T，直线与直线相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得的面积为定值，并求该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $