精品解析：陕西商洛市洛南中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

陕西省洛南中学 2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 全卷满分150分；考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 椭圆上一点到左焦点的距离为2，则点到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 已知空间点,则的最小值是 A. B. C. D. 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 8. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 11. 已知曲线，则 A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 当点在曲线C上时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，，且，，则的值为______________. 13. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于___________. 14. 已知，则的最小值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 16. 已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 17. 已知正方体的棱长为2，为棱上一点． （1）求证：． （2）若为中点，求三棱锥的体积． （3）是否存在点使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19. 已知圆，直线． （1）证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹的方程． （3）已知点为圆上任一点，过点作直线与曲线相切于、两点（、不重合），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学 2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 全卷满分150分；考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 椭圆上一点到左焦点的距离为2，则点到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】由椭圆方程得,,所以,即. 设椭圆的左、右焦点分别为,,由椭圆的定义知. 又,所以,即点到右焦点的距离为. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 3. 已知空间点,则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，时，的最小值为，，故选C. 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则， 且当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 综上，. 5. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则， 因此，即，解得， 故选：C 7. 在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 8. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析两直线的性质，确定两直线的垂直关系，从而得出点的轨迹为圆，再结合圆确定两圆的位置关系，进而利用两点间距离公式结合两圆半径得出的最大值． 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】应用倾斜角和斜率定义判断A，设对称点应用中点及斜率计算求解判断B，应用截距计算得出面积判断C，分过原点和不过原点两种情况设直线计算求解判断D. 【详解】对选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A正确. 对选项B，设关于直线对称的点为， 则，即关于直线对称的点为，故B正确. 对选项C，直线，令，得，令，， 则直线与坐标轴围成的面积，故C错误. 对选项D，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，故D错误. 故选：AB. 10. 在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB利用基底和数量积的运算律化简；C利用公式；D利用向量的加法和减法运算化简. 【详解】由题意得，， A选项，，A正确； B选项，， 故 ，B正确； C选项，由B选项得， 故在上的投影向量为，C正确； D选项， ，D错误. 故选：ABC 11. 已知曲线，则 A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 当点在曲线C上时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的曲线方程，利用关于对称特征判断A；利用基本不等式求解判断BD；作出曲线求出图形面积判断C. 【详解】对于A，曲线C上任意点，则成立， 即点在曲线上，因此曲线C关于y轴对称，A正确； 对于B，令是曲线C上任意一点，则， 由， 当且仅当时取等号，解得，即， 因此曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，B正确； 对于C，当时，，其对应的图形以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆部分，该半圆面积为，而曲线关于坐标轴对称， 曲线对应的图形如下： 曲线围成的图形的面积由边长为的正方形和4个半径为的半圆组成， 因此曲线围成的图形的面积为，C错误； 对于D，由选项B得，则，而， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，，且，，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】，向量，，， ，解得，又， ，解得， 则. 故答案为：. 13. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】先结合题意得到，再利用空间向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】以作为一个基底， 由题意知，， 由数量积的定义可得， 同理可得， 又，可得 ， 故. 故答案为： 14. 已知，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代数求最小值问题转化为“将军饮马”几何模型进行求解即可. 【详解】由题几何模型为，平面直角坐标系中动点在直线上，两定点，求的最小值. 求关于直线的对称点， 满足方程， 于是的最小值即为线段的长度. 所以. 所以最小值是. 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【小问1详解】 联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. 【小问2详解】 直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 16. 已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆C的圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或. 17. 已知正方体的棱长为2，为棱上一点． （1）求证：． （2）若为中点，求三棱锥的体积． （3）是否存在点使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 又为棱上一点，设，则， 所以，， 所以， 所以，即. （2） （3）棱上不存在点，使得平面，理由如下： 由（1）建系可知，，，，， 因为为棱上一点，设，则 所以，，， 设面的法向量为， 则即， 令，则.所以， 若平面，则， 所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，即可证明； （2）由，利用等体积法即可求解； （3）在空间直角坐标系中，设，求出面的法向量，若平面，则，求出的值，即可判断棱上是否存在点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得：， 又，所以， 又因为平面， 所以； 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量可求得结论； （2）求出两平面的法向量，再由向量法可求出平面与平面夹角的余弦值； （3）不妨设，根据直线与平面所成角的正弦值为，可得，利用点到平面距离的向量求法可得其距离为. 【小问1详解】 记的中点为，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 而， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 而， 所以，令，则 ， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 19. 已知圆，直线． （1）证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹的方程． （3）已知点为圆上任一点，过点作直线与曲线相切于、两点（、不重合），求的最小值． 【答案】（1）证明：将直线的方程整理为， 联立，解得定点坐标为． 圆心到该定点的距离为（圆半径为）， 定点在圆内部，因此直线恒过圆内定点，与圆恒交于两点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，分离参数可得，根据题意得方程组，即可求解定点坐标，再通过点与圆的位置关系即可判断； （2）设、，利用中点坐标公式建立关系，用点的坐标表示点的坐标，代入圆方程，即可求解； （3）确定轨迹的基本参数，即圆心，半径，，利用切线性质转化向量数量积为，构造函数并结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设、，由中点公式得，即， 代入圆的方程，可得， 化简得轨迹的方程为． 【小问3详解】 设轨迹的圆心为，半径， 由切线长的性质，可得． 设，则， 推导得， 由在圆上，，且， 则，即有． 令，则，对勾函数． 由于，当且仅当，即时，等号成立． 故当时，函数取得最小值，最小值为． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $