精品解析：广东江门市第一实验学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知方程．的两个根分别是，，则的值是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），涉及知识点：韦达定理中两根之和的公式．解题方法是直接应用韦达定理，即对于一元二次方程，两根之和为；解题关键是准确识别方程中、的值，易错点是符号混淆（误将两根之和算成）．解题思路：确定方程中、的系数，代入韦达定理的两根之和公式计算． 【详解】∵方程的两根为， ∴由根与系数的关系，得． 故选：A 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 3. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：1 D. 1：3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3； △OAB 与△OCD的相似比等于； 故选D． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力． 4. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则常数k是（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用方程的根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于k的一元一次方程，解此方程即可得到k的值， 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴将代入方程得：， 即， ∴， 故选：D． 6. 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移性质，掌握平移前后值不变是解题的关键．根据二次函数二次项系数决定开口大小和方向，平移过程中不会改变开口大小即可判断． 【详解】解：∵平移后二次项系数不变，原抛物线中的， ∴选项B、C、D的二次项系数均为，可能通过平移得到， 选项A的二次项系数为，与原抛物线不同，不可能通过平移得到． 故选：A． 7. 如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．如果设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程． 【详解】解：设小路的宽度为， 那么耕地的总长度和总宽度应该为，； 根据题意即可得出方程为：，、 整理得：， 故选：C． 8. 若，反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断方法以及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、与轴交点以及对称轴位置确定、、的符号，再据此分析一次函数的图象特征，从而确定选项． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 二次函数图象的对称轴，且， 二次函数图象与轴的交点在正半轴， ， 对于一次函数，，， 其图象经过第一、二、三象限． 观察选项，只有选项的图象符合． 故选： 10. 如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）． 给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③可能是等边三角形；④一定是锐角三角形．上述结论中,所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断③，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴， ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得， 当与的面积相等时，如图，连接， ∴， ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故③正确； 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故④错误； 综上，①③正确、②④错误. 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程4x 2 -8x-3=0的一次项系数是__________． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义即可求解． 【详解】解：一元二次方程4x 2 -8x-3=0的一次项系数是﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查一元二次方程的系数，注意不要漏掉负号． 12. 二次函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 13. 已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，n）和B（–1，–6），如图所示．则不等式kx+b＞的解集为__________． 【答案】–1<x<0或x＞2 【解析】 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】观察函数图象，发现：当–1<x<0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式kx+b＞的解集是–1<x<0或x＞2． 故答案为–1<x<0或x＞2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 14. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据有实数根得出判别式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质求得，，由勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵点E是的中点，交对角线于点F， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； 【小问1详解】 解∶ ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解∶， ， 或， ∴，． 17. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】（1）反比例 （2）这个函数的解析式为； （3）它在该分辨率下的像素密度为． 【解析】 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； 【小问2详解】 解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问3详解】 解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价0.5元，那么平均可多售出1件． （1）每件童装降价x元时，每天可销售________件；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （3）当x取何值时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． （3）当时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 【解析】 【分析】（1）因为每件童装降价0.5元，平均可多售出1件，那么降价x元，则多售出件，根据销售量原销售量多售出的件数，列式即可； （2）根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得； （3）根据总利润每件利润销售数量，求最大值即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴每件童装降价x元时，每天可销售件． 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得，， ∵要扩大销售量，减少库存， ∴不合题意，舍去， ∴每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 【小问3详解】 解：设平均每天盈利为w元，根据题意得： ， ∴当时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 20. 综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 【小问2详解】 解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 21. 如图，菱形中，点为上一点，满足，交于点． （1）若，求证：点是的中点； （2）若的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】（1）证明：∵ 四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． （2）证明：∵ 四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由四边形是菱形得对边平行且相等，由，得内错角相等，由两组角相等得，再由相似三角形得对应边成比例，即可求证点是的中点． （2）由四边形是菱形得，由可证，由是的角平分线得，进而证得，再由相似三角形对应边成比例即可求证，由菱形对边相等，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，抛物线经过三点． （1）求此拋物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； （3）抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2）， （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【小问1详解】 解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； 【小问2详解】 设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 23. 数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． （1）上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． （2）【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． （3）【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】（1）1； （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到； 根据矩形的性质，证明，得到． （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分类求解即可． 【小问1详解】 ①解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（1），知， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点， 如解图3，同理①，易得， ，， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知方程．的两个根分别是，，则的值是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：1 D. 1：3 4. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 5. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则常数k是（ ） A. B. C. 5 D. 4 6. 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若，反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）． 给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③可能是等边三角形；④一定是锐角三角形．上述结论中,所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程4x 2 -8x-3=0的一次项系数是__________． 12. 二次函数的最小值为___________． 13. 已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，n）和B（–1，–6），如图所示．则不等式kx+b＞的解集为__________． 14. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 18. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价0.5元，那么平均可多售出1件． （1）每件童装降价x元时，每天可销售________件；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （3）当x取何值时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 20. 综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 21. 如图，菱形中，点为上一点，满足，交于点． （1）若，求证：点是的中点； （2）若的角平分线交于点，交于点，求证：． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，抛物线经过三点． （1）求此拋物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； （3）抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 23. 数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． （1）上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． （2）【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． （3）【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $