精品解析：广东省江门市江海区外海中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试一九年级数学试卷 （满分120分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，最高次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况．当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：A 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：x2﹣10x+21＝0， 移项得： ， 方程两边同时加上25，得： ， 即 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 5. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 6. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 7. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 8. 如上图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=25°，则∠AOD的度数是（ ） A. 25° B. 60° C. 35° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的和差定义计算即可． 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD， ∴∠DOB=60°， ∵∠AOB=25°， ∴∠AOD=60°-25°=35°． 故选C． 【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，属于中考基础题． 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 【详解】是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点睛】本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识． ①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号； ②当时，y有最大值，当时，，可得到关于t的不等式，整理后即可判断； ③由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号； ④利用二次函数的性质得，解不等式即可． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号， 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线， ∴当时，； 即； ∴，故①错误； ②当时，y有最大值， 当时，， ∴， ∴，即， 故②错误； ③由①得：， 代入原解析式得：， 由图象可知，当时，， 即：， 整理得：，故③正确； ④由题意得，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大， ∵和为图象上两点，且， ∴，即， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 13. 抛物线向右平移2个单位后，得到的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”，进行分析，即可作答． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位后，得到的解析式为， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，结合抛物线与直线的两个交点坐标分别为，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为， ∴的解是，， 故答案为：， 15. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】 如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为(−10，0)，B点坐标为(10，0)， 设中间大抛物线的函数式为y=−ax2+bx+c， 代入三点的坐标得到， 解得． ∴函数式为y=−x2+6， ∵NC=4.5米， ∴令y=4.5米， 代入解析式得x1=5，x2=−5， ∴可得EF=5−(−5)=10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程即可． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 可得， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 可得或， 解得，． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数图象的解析式． （2）试判断点是否在该二次函数图像上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不在，理由如下： 当时，， ∴点不在二次函数的图象上． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），将代入关系式求出y，再判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 所以二次函数的关系式为； 【小问2详解】 略 18. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）即为所求；则点的坐标分别为． 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换和中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据关于原点的对称的性质画出点，即可作答． （2）根据旋转的性质画出；进而可以写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】（1）10% （2） 【解析】 【分析】（1）设年平均下降率为，可得今年的房价＝去年的房价×（1-x），去年的房价＝前年的房价×（1-x），由此列方程求解即可． （2）由（1）得年平均下降率为10%，根据题意计算即可． 【小问1详解】 设年平均下降率为，根据题意，得. 解得，（不合题意，舍去）， 答：年平均下降率10%； 【小问2详解】 （元）， 答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米元． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 21. 某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件． （1）当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品； （2）商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 18 （2） 销售单价应定为10元 （3） 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售、营销问题，根据题意准确把握题目的数量关系是解题的关键． （1）销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，据此求解即可； （2）先求出每天的销量与销售单价的函数关系式，再根据每天获利100元列方程求解可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：18； 【小问2详解】 每天的销售量为：， 由题意，得, 解得， 销售单价不能超过12元， 答：商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元； 【小问3详解】 ， ，， 当时，． 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是112元． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】 （1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）填空：a的值为________；点C的坐标是________． （2）若点是y轴上的点，将点绕着点P按照顺时针方向旋转得到点E，当点E恰好落在二次函数图像上时，求t的值； （3）将二次函数的图像沿x轴翻折得到，设与组成的图形为M，直线与M有公共点，写出：L与M的公共点为3个时，m的值． 【答案】（1）， （2）t的值为或 （3）或或或3 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可，再结合二次函数与y轴交于点C，进行列式计算，即可作答． （2）过点E作轴，根据题意证明，再根据点E在二次函数图象上列式计算即可； （3）根据翻折的性质有四种情况分别为，，，，结合作图，进行讨论即可； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵与y轴交于点C． ∴令时，则， 即， 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作轴， ∵，， ∴， 由旋转可知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴当E恰好在二次函数图象上时，， ∴， ∴， ∴，， 【小问3详解】 解：设与组成的图形为M，直线与M有公共点， 如图，翻折得到， ∴与关于x轴对称， 如图中的，当与只有一个公共点时，， 得到， ∴， 此时有一个交点，即， 故， ∴， ∴； 如图中的，当过点A时， 设的解析式为， 把点代入得， ∴； 如图中的，与只有一个公共点， ∵与关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图图中的，当过点B时， 设的解析式为， 把代入可得：， 解得：； 综上所述：或或或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，旋转综合，二次函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试一九年级数学试卷 （满分120分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 5. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 6. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如上图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=25°，则∠AOD的度数是（ ） A. 25° B. 60° C. 35° D. 85° 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 若是方程的一个根，则的值为_____． 13. 抛物线向右平移2个单位后，得到的解析式为________． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是_______． 15. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数图象的解析式． （2）试判断点是否在该二次函数图像上，并说明理由． 18. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 21. 某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件． （1）当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品； （2）商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）填空：a的值为________；点C的坐标是________． （2）若点是y轴上的点，将点绕着点P按照顺时针方向旋转得到点E，当点E恰好落在二次函数图像上时，求t的值； （3）将二次函数的图像沿x轴翻折得到，设与组成的图形为M，直线与M有公共点，写出：L与M的公共点为3个时，m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $