精品解析：河北省唐山市第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设可得，解之得，应选答案A． 2. 若点，点是关于平面的对称点，则点与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，因此它关于平面的对称点的坐标为， 由空间两点距离公式可得. 3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 5. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 6. 已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 7. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义求解，再结合圆上一点到圆外一点的距离的最大值为该点到圆心距离加半径，最小值为该点到圆心距离减半径，分别分析和的最值范围，进而结合不等式性质求解即可. 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 8. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 二、多选题（共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 与 一定平行 D. 若 ，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于选项A：因为分别是平面的法向量，若，则，即两平面的法向量互相垂直，所以平面，故A正确. 对于选项B：若直线且，根据面面垂直的判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直)，可得，故B正确. 对于选项C：若，说明两平面的法向量平行，则平面与平面可能平行，也可能重合，故C错误. 对于选项D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线平行于平面()或直线在平面内()，故D错误. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知中直线的方程，易求出直线斜率的取值范围，再根据直线斜率与倾斜角之间的关系，即可判断A；根据圆的性质结合两点间的距离公式可得，解不等式即可得r的取值范围，即可判断B；根据两直线垂直的充要条件得的值，结合充分与必要条件即可判断C；分截距为0和不为0两种情况进行求解，即可判断D． 【详解】对于A，直线的斜率为 由正弦型函数的性质，得，故直线的倾斜角的取值范围是，故A错误； 对于B，若圆上恰有两点到点的距离为1， 则圆心到点的距离满足：， 则，解得，故r的取值范围是，故B正确； 对于C，由直线与直线互相垂直可得，解得或， 所以“直线与直线互相垂直”是“”的必要而不充分条件，故C错误； 对于D，当直线在x轴、y轴上的截距均为0时，过点的直线方程为， 当直线在x轴、y轴上的截距相等不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，故D错误. 故选：ACD. 11. 在长方体中，，，，空间中的点P满足，x，y，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小，可判断B；利用等体积法可求得最小值判断C；求得轨迹长可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C正确； 当，在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线距离为，则的值为____________. 【答案】或 【解析】 【详解】直线，直线， 所以两直线间的距离为，解得或. 13. 写出与两圆均相切的一条直线方程为___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据圆的方程判断圆的位置关系，公切线斜率存在，设为，应用点线距离公式求参数，即可写出直线方程. 【详解】由，圆心为，半径为1； 由，圆心为，半径为4； 所以圆心距为，故两圆外切，如下图， 公切线斜率存在，设为， 所以，解得或或， 所以，公切线方程有或或. 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图，四边形和均为边长为的正方形，平面平面，为的中点，动点在上，若点到直线的距离为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为四边形和均为边长为的正方形，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，所以、、， 则，， 所以点到直线的距离为， 整理可得，即，解得或，均符合题意， 故或. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. （1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求； （2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解. 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. 16. 如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）为等腰梯形，， ， 又∵平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，求出的坐标和平面法向量的坐标，再利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，， ∵平面平面，平面平面，，平面， 平面，又，平面， ，，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，，，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，则， 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为. （1）求所在的直线方程； （2）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先联立两条高线方程求出垂心，利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （2）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再根据两点求得直线方程. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 由题意知，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，所以，也就是的垂心. 因为点A的坐标为，所以， 由垂心定义，过顶点的高线经过垂心，这条高线垂直对边，故， 所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得， 所以所在直线方程为. 联立直线与的方程可得，解得，所以， 所以所在直线方程为，即. 【小问2详解】 设关于直线的对称点，则有， 且的中点在直线上，所以， 整理得，解得，所以， 则反射光线的方程经过和点， 所以反射光线的方程为，即． 18. 在平面直角坐标系中，两点，，点满足， （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线：，，判断曲线与直线的位置关系； （3）过点作直线交曲线于，两点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）相切 （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用两点距离公式表示，整理即得轨迹方程； （2）通过圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断； （3）设直线，将直线方程与圆方程联立消元，根据得到的一元二次方程得到韦达定理， 利用弦长公式表示三角形的底，利用点到直线距离公式表示出三角形的高，表示出三角形面积后利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设，由可得，化简可得. 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相切. 【小问3详解】 设直线方程为， 联立 消去并整理可得 ， ， 设，则 由弦长公式可得 ， 又到直线的距离， 所以 令，则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为． （1）如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，． ①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值； ②求二面角的平面角的正弦值； （2）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率． 【答案】（1）①；②． （2） 【解析】 【分析】（1）①连接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于点O，进而可证底面ABCD，利用余弦定理可求得，记四棱锥在点P处的曲率为，则，计算即可；②以点O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求得平面PAB的一个法向量，求得平面ABCD的一个法向量，利用向量法可求得二面角的平面角的正弦值； （2）设碳60（）共有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1，2，…，F号，设第i号（）多边形有条边，则碳60（）共有条棱，利用曲率的定义计算可求总曲率的平均曲率. 【小问1详解】 ①连接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于点O， 又，所以为正三角形， 因，则， 底面ABCD，底面ABCD，故，． 且，， 由余弦定理得， 由题意可知四棱锥的四个侧面三角形全等， 故有， 记四棱锥在点P处的曲率为，则， 所以 ． ②如图，以点O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，， 所以，． 设平面PAB的一个法向量为， 则，令，得， 为平面ABCD的一个法向量，设二面角的平面角为， 由已知为锐角，则， 所以，即二面角的平面角的正弦值为． 【小问2详解】 设碳60（）共有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1，2，…，F号， 设第i号（）多边形有条边，则碳60（）共有条棱， 由题意，碳60（）共有个顶点， i号多边形的内角之和为， 所以碳60（）的所有多边形的内角之和为， 所以碳60（）的总曲率为 ． 由已知，所以碳60（）各顶点的平均曲率为． 【点睛】关键点点睛：立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键，根据题意求得总曲率，进而求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为 A. B. C. D. 2. 若点，点是关于平面的对称点，则点与的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 16 8. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 与 一定平行 D. 若 ，则 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 11. 在长方体中，，，，空间中的点P满足，x，y，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线距离为，则的值为____________. 13. 写出与两圆均相切的一条直线方程为___________. 14. 如图，四边形和均为边长为的正方形，平面平面，为的中点，动点在上，若点到直线的距离为，则______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. （1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 16. 如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为. （1）求所在的直线方程； （2）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 18. 在平面直角坐标系中，两点，，点满足， （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线：，，判断曲线与直线的位置关系； （3）过点作直线交曲线于，两点，，求面积的最大值． 19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为． （1）如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，． ①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值； ②求二面角的平面角的正弦值； （2）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $