精品解析：安徽省界首第一中学2026-2027学年高一上学期期中检测数学试卷

2026-2027 高一上学期期中检测 数　学　试　卷 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 2. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将求的范围转化为求的范围，再利用同向不等式相加的性质即可求解. 【详解】由题意得， 则， 即，即. 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】“”推不出“”，则“”是“”的不充分条件， “”推不出“”，则“”是“”的不必要条件， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 ，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则下列选项中，正确的是（　　） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 在上的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】先进行分段函数的化简，并画出函数图象，再结合图象判断最终情况即可. 【详解】表示不超过的最大整数，，， 选项A，，， ，，故选项A错误； 选项B，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 则当时，，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为， 当时，，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为， 则的图象为： 由图象可知，当时，趋近于正无穷，则的最大值不是为， 故选项B错误； 选项C，由图象可知，当时，恒为0，故函数最小值为，故选项C正确； 选项D，由图象可知，在上的值域为，故选项D错误. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性解不等式. 【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示， 若，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到，从而得，转化成利用基本不等式解决问题. 8. 设函数，函数在定义域内是单调函数，且对于任意，都有，则在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对于任意，都有，令（为常数），再由函数在定义域内是单调函数，得到，进而令，得到求解. 【详解】解：因为在定义域内是单调函数， 且对于任意，都有， 令（为常数），即. 令，得，即， 则，解得. 故. 易知在上为增函数， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，可以推出，可以得到， 所以是的充要条件，A正确； B选项，如图，若，则，同理，则， 故是的充要条件，B正确； C选项，若，则，C错误； D选项，若，则，故， 反过来，若，则，， 所以是的充要条件，D正确 10. 已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立. 【详解】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号； 对于C，，当且仅当时取等号； 对于D，当，时，，，， 所以. 故选AD. 【点睛】本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 11. 已知函数的定义域为，则（　　） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，根据奇函数的定义可判断B，利用函数的单调性解不等式可判断D. 【详解】对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则， 又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，， 所以由得， 则，又， 所以， 又在上单调递减， 则不等式等价于，解得，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式解集得到且，代入得到，解得答案. 【详解】由题意得，所以， 故，即，，故解集为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将函数变形为，利用反比例型函数的性质求解. 【详解】将函数整理变形，得， 因为该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负， 所以，且当时，函数值， 解得. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有__________. ①. ②. ③. ④. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，以此分析各个函数即可. 【详解】对于①，，，， 在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，①正确. 对于②，，，， 在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，②正确. 对于③，在上单调递减，在上单调递增， 假定函数存在倍值区间， 若在上单调递增，则， 即有，而或，无解， 若在上单调递减， 则，即，两式相减得， 而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，③错误； 对于④，当时，，函数在上单调递减， 于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 16. 计算 （1）； （2）已知 ，求 以及 的值. 【答案】（1） （2）7，6 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用指数运算法则求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 由，得 ，则， 又， 所以． 17. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若，为真命题，求实数的范围. 【答案】（1）,, （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集． （2）根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集． （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，则，由，得， 令，解得，或. 原不等式的解集为,,. 【小问2详解】 由得， 令，得， . 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立， 得， 令， 则， ． 故实数的取值范围是 18. 设函数的定义域为R，满足，且当时，． （1）求的值； （2）写出函数在区间上的解析式，并画出函数在这区间上的图像； （3）若对任意，都有，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件直接代入计算即可； （2）由已知得，，进而求得函数解析式，画函数图像； （3）根据已知，结合（2）的过程知，当当时，恒成立，再讨论当当时，令，解得或，进而数形结合即可得答案. 【详解】解：（1）因为函数的定义域为R，满足， 所以 （2）因为函数的定义域为R，满足， 所以满足，， 所以当时，，故， 当时，，故， 所以函数在区间上的解析式为， 函数图像如下： （3）因为函数满足， 所以结合（2）可知当时，恒成立， 当时，令， 整理得，解得或.， 如上图，对任意，都有恒成立，则必有 故m的取值范围是 19. 已知为非空有限集，且任取，均有，称为非空有限整数集．定义：， ． （1）若，分别写出和（用列举法表示）； （2）若，，，求集合中所有的元素； （3）对于非空有限整数集、，若，，中的元素均为非负整数，为整数，求证：①、中元素的个数相同；②若集合中的元素个数为奇数，则为偶数． 【答案】（1） （2） （3）①因为，因为函数在全体整数集上严格单调递增，故，， 所以，因为，所以， 设，中元素均为非负整数，，，故函数在上单射， 所以，又因为，所以， 所以. ②由①可知，且，且， 所以，， 所以， 所以， 所以映射是集合到自身的一个双射. 假设是奇数， 当为偶数时，为奇数，为奇数， 当为奇数时，为偶数，为偶数， 所以此时映射将集合中的奇数映射为偶数，将集合中的偶数映射为奇数， 即集合中的奇数元素和偶数元素必须配对，此时集合的元素个数则为偶数， 与题设中“集合中的元素个数为奇数”矛盾. 故假设不成立，所以是偶数. 【解析】 【分析】（1）由定义可直接写出答案； （2）通过定义求得，得到中必含有元素；由求得最多含有的元素，从而求得答案； （3）①通过函数的单调性证明和，从而即可得证； ②由①得到集合，的关系，然后写出集合，通过反证法得到集合的元素个数与题设矛盾，即可得证. 【小问1详解】 由题意可知. 【小问2详解】 由题意可知，即， ，， 所以或，解得或或，即， 即， 所以. 【小问3详解】 ①略； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 高一上学期期中检测 数　学　试　卷 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 ，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则下列选项中，正确的是（　　） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 在上的值域为 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，函数在定义域内是单调函数，且对于任意，都有，则在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（　　） A. B. C. D. 10. 已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，则（　　） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__． 13. 已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______. 14. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有__________. ①. ②. ③. ④. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 16. 计算 （1）； （2）已知 ，求 以及 的值. 17. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若，为真命题，求实数的范围. 18. 设函数的定义域为R，满足，且当时，． （1）求的值； （2）写出函数在区间上的解析式，并画出函数在这区间上的图像； （3）若对任意，都有，求m的取值范围． 19. 已知为非空有限集，且任取，均有，称为非空有限整数集．定义：， ． （1）若，分别写出和（用列举法表示）； （2）若，，，求集合中所有的元素； （3）对于非空有限整数集、，若，，中的元素均为非负整数，为整数，求证：①、中元素的个数相同；②若集合中的元素个数为奇数，则为偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $