精品解析：广东省肇庆市德庆县香山中学2026-2027学年高三上学期11月月考数学试题

香山中学2027届高三级第一学期11月月考数学科试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的首项为，公差不为.若成等比数列，则前项的和为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为（ ） （若，则） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. 若，且为锐角，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 11. 对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____． 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 14. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）求B； （2）已知点D在边AC上，且BD是的平分线，，求的最小值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围． 19. 对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前n项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香山中学2027届高三级第一学期11月月考数学科试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，利用交集运算定义进行运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，利用定义求出，在直接用诱导公式求出. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，所以，所以根据三角函数的定义，得：. 所以. 故选：D 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值； (2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 4. 函数中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可. 【详解】解：因为定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B， 又时，，所以， 所以，故排除C； 故选：D 5. 等差数列的首项为，公差不为.若成等比数列，则前项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式得出公差，再根据等差数列的前项和公式计算. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列,首项，所以， 即，即，整理可得， 因为，所以，所以. 故选：B. 6. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到函数一个周期为2，从而代入计算即可. 【详解】，故的一个周期为2， 所以. 故选：D 7. 已知，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解析：因为，，，， 所以，则， ， 所以 . 8. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为（ ） （若，则） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题可知，，根据题意及正态曲线的特征可知， 的解集，由可得， 所以解得，故至多为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. 若，且为锐角，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A：若，则， 由为锐角，，解得，故A选项正确； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项错误； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为正确； 对于选项D：若，则，，故D选项错误． 10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 11. 对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据的定义逐项判断即可. 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____． 【答案】2ex﹣y﹣e＝0 【解析】 【分析】求函数的导数，得到切线斜率，然后代入点斜式方程即可求出切线方程． 【详解】函数的导数为f（x）＝ex+xex，则f（1）＝e+e＝2e，即切线斜率k＝f（1）＝2e， 又f（1）＝e，即切点坐标为（1，e）． 所以切线方程为y﹣e＝2e（x﹣1），即切线方程为2ex﹣y﹣e＝0． 故答案为2ex﹣y﹣e＝0． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题． 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，导函数， 由已知有两个不相等的正实数根， 所以有两个不相等正实数根， 令，则， 由，得. 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 又，， 当时，，当时，， 当时，， 由以上信息可得，函数的图象大致如下： 所以a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】（1）方案一 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 【小问2详解】 设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）求B； （2）已知点D在边AC上，且BD是的平分线，，求的最小值． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件及正弦定理求出，再结合B的取值范围即可求得B； （2）由角平分线的定义结合三角形的面积公式，求出，再利用基本不等式即可求出a+ c的最小值. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为是的平分线，所以， 又，所以， 化简得，所以， 所以 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）将函数求导后，对和分成两种情况，讨论函数的单调性. （2）结合（1）的结论，首先分析当时不合题意，再通过分析时得到，再设新函数求导得其单调性即可解出不等式. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）当时，在上单调递减，则其最多有一个零点，不合题意，舍去，则； 由（1）可知当时在单调递减，在单调递增. 当时，，当时，. 若有两个零点，只需， 设，，因为在上单调递增， 则在上单调递增，且，则当时，， 当时，. 综上所述，当时，有两个零点. 19. 对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前n项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． 【答案】（1）12 （2） （3）1999， 【解析】 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【小问1详解】 由题得，，， 所以，，则公比为，故，，， 所以，，， 所以，，． 【小问2详解】 设的二阶和数列的前项和为， 由题得，， 所以． 【小问3详解】 因为，所以，解得． 设的公差为，则，解得， 又， 所以，解得， 所以的最大值是1999， 此时公差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $