精品解析：广东省肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2025-2026学年香山中学高三级8月月考数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知且且且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 8. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 有最大值 C. 不等式的解集是 D. 在上单调递增 11. 已知函数的定义域是，函数是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. 4是函数的一个周期 D. 函数的图象关于直线x＝9对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 已知函数，若，则____________． 14. 已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 19. 设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足，，求数列的前项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年香山中学高三级8月月考数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可 【详解】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集. 【详解】当时，，解得， 与求交集得， 当，，解得， 与求交集得， 故的解集为. 故选：D 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知且且且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，利用导数研究其单调性后可得的大小. 【详解】因为，故，同理， 令，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在为增函数， 因为，故，即，而， 故，同理，，， 因为，故， 所以. 故选：D． 【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键． 7. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列的性质与基本不等式计算即可得. 【详解】由，则有，即， 由基本不等式得，当且时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 8. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用导数求出函数在与上的单调性与最值，画出函数的图象，由题意可得与的图象有两个交点，数形结合求解即可. 【详解】当时，, 则, 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点， 所以与的图象有两个交点， 由图可知或. 所以的取值范围为. 故选:C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 有最大值 C. 不等式的解集是 D. 在上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。 【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确； ，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误； 因为在上单调递减，所以D错误． 故选：AB. 11. 已知函数的定义域是，函数是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. 4是函数的一个周期 D. 函数的图象关于直线x＝9对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据为奇函数，得到，令得，B正确； 结合是偶函数，得到，得到4是函数的一个周期，C正确； 首先得到，故关于中心对称，结合4是函数的一个周期，故，得到的图象关于中心对称，D正确； 根据题目条件无法得到的值，A错误. 【详解】因为为奇函数，所以， 整理得：， 令得：，解得：，B正确， 将替换为，得，即①， 又因为是偶函数，所以， 将替换为，得②， 由①②得：③，则④， ③-④得：， 故4是函数的一个周期，C正确； 因为，所以， 故关于中心对称， 又因为4是函数的一个周期，所以， 故关于中心对称，D错误， 因为关于中心对称，故与关于中心对称，无法得到，（注意的值无法确定），A错误. 故选：BC 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称； 若，则函数关于对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】理解这个条件，它表明函数是增函数.对于分段函数是增函数，需要每一段函数都递增，并且在分段点处也要满足递增的条件.然后分别分析每一段函数的单调性以及分段点处的函数值关系，从而确定的取值范围. 【详解】对于对数函数，当时，函数在上单调递增. 因为这里，要使在上递增，所以.  对于一次函数，其斜率为，当时，函数在上单调递增. 所以要使在上递增，.  在这个分段点处，需要满足在处的值不大于在处的值. 当时，；. 所以，即. 综合前面的条件，需要同时满足，，. 取交集可得，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16. 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以. 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知①， 所以②. ①－②得 所以. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义，在中的运用特殊值求，的值； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是上的奇函数， 所以，即，解得，从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； 【小问2详解】 由（1）知， 任取，，且，则 因为，所以，所以，即， 所以在R上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 19. 设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足，，求数列的前项的和． 【答案】（1） 证明：因为， 当时，得，解得； 由题意①，得②， ②①得， 即， 又， 所以，即 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证； （2）由（1）可得，从而得到，则当为偶数时 ，再利用并项求和法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， 又，所以， 且， 又因为当为偶数时，，即， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $