精品解析：广东珠海市广东实验中学金湾学校2026-2027学年高三上学期11月月考数学试题

珠海市广东实验中学金湾学校高三年级11月月考 数学 （考试时间150分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 一、单选题 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得，所以． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知函数 ，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：或 考点：函数求值 5. 函数在的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】令，得或，结合x的取值范围可求得零点. 【详解】由， 得或，， 或． 在的零点个数是3， 6. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得， 因为，所以， 则，故， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 7. 函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解. 【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C； 当x→＋∞时，y→＋∞，排除B. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题. 8. 设为正数，且，则有（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则，， ∴，则， ，则，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由最小正周期公式可得函数的最小正周期为，正确； 对于B，曲线向左平移个单位长度得到，与原函数不相同，故错误； 对于C，，正确； 对于D，当时，则，由正弦函数图象可得，，故正确. 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 定义域为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 极小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出函数的定义域即可判断，对于B，利用奇偶性的定义即可判断；对于C，利用导数求出单调区间即可以判断；对于D，利用导数求出单调区间，再求出极值即可. 【详解】对于A，要使函数有意义，则即， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，由于函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，在上时，，， 令，得 解得 ； 令，得 解得 . 所以在上单调递减，上单调递增，故C错误； 对于D，由选项C，可知在上单调递减，上单调递增， 根据选项B可知函数为奇函数， 故在上单调递增，上单调递减， 处取得极大值，处取得极小值， 所以极小值为，故D正确. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由题可得，然后利用可判断选项正误；对于C，由题设结合二倍角余弦公式，可判断选项正误； 对于D，由结合题设，可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，即此时，故A错误； 对于B，， 因，则，则； 令，则在上单调递增， 则当时，.则，又， 则，从而有，故B正确； 对于C，，由B分析可得， 则，又，则，故C正确； 对于D，由，则，又，，从而. 则，从而，故D错误. 【点睛】关键点睛：本题涉及证明三角不等式.证明三角不等式常利用正，余弦函数的有界性，从而达到放缩的目的，此外本题反复利用了时，这一常见不等式，在此老师也建议同学们积累. 三、填空题 12. 偶函数的图象关于直线对称，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的对称性可得，结合函数的奇偶性可得，即可得解． 【详解】解：根据题意，函数的图象关于直线对称，则， 又由函数为偶函数，则， 故； 故答案为：． 13. 已知是第四象限角，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题求得的范围，结合已知求得，再由诱导公式求得及，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得的值． 【详解】解：是第四象限角， ，则， 又， ． ，． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 四、解答题 15. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 16. 在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得； （2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出． 【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系 在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以． ［方法2］：余弦定理 在中，，即，解得：，所以， ． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识 如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则． 所以． ［方法4］：坐标法 以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）． 设，则．因为，所以． 从而，又是锐角，所以，． （2）［方法1］：【通性通法】余弦定理 在，由（1）得，， ，所以． ［方法2］：【最优解】利用平面几何知识 作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得． 【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法； 方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算． 方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算． 17. 如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且. （1）当时，证明：直线平面； （2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明:以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，当时，， ，，，， 平面，平面，因此，平面； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）计算出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【详解】（1）略； （2）、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则，，， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则，， ， 若存在，使得面与面所成的二面角为直二面角，则. 且，整理可得， ，解得. 因此，存在，使得面与面所成的二面角为直二面角. 【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种： （1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论； （2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在． 18. 某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． （1）求，； （2）求的表达式； （3）记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式，计算，； （2）利用组合计数原理与独立事件乘法公式，结合全概率公式与错位相减法推导的表达式； （3）结合条件概率公式转化问题，通过构造数列判断单调性，最后比较两个条件概率的大小. 【小问1详解】 由题意知，， . 【小问2详解】 记“第次测试后恰好通过第1关”为事件， “第次至次测试后没有通过第2关，且第次测试后恰好通过第2关”为事件， “第至次进行第3关测试没有通过，且第次通过”为事件， 则， ， . 所以. 令， ， 所以， ， 所以. 所以. 【小问3详解】 由（2）得，，， . 令，则， 所以， 因为随的增大而增大， 所以当时，， 当时，，； 当时，，，是增数列. 所以当时，取得最小值，最小值为. 又，且； 所以当时，，即， 所以. 因为，所以，即； 当时，，即， 所以.因为， 所以，即. 综上所述，当时，； 当时，. 19. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据右焦点坐标及渐近线方程，结合列方程组求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据题意及韦达定理求出的范围，结合求解即可. （ⅱ）由双曲线的对称性知，进而得到，设，得到；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题意得，，， 又，所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，且， 联立，整理得， ， 所以，， 由直线与的右支交于两点，得. （ⅰ）因为，所以，即，所以. 将其代入，解得，，且， 所以，整理得，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为. （ⅱ）由双曲线的对称性知，，所以， 所以 ， 设，则， 则， 设， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市广东实验中学金湾学校高三年级11月月考 数学 （考试时间150分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 一、单选题 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 已知函数 ，且，则 A. B. C. D. 5. 函数在的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 7. 函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设为正数，且，则有（       ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 定义域为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 极小值为 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 偶函数的图象关于直线对称，，则________． 13. 已知是第四象限角，且，则___________. 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 四、解答题 15. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 16. 在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 17. 如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且. （1）当时，证明：直线平面； （2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． （1）求，； （2）求的表达式； （3）记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 19. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $