精品解析：山西省大同市第七中学校2026-2027学年第一学期八年级数学期中试题

2026-2027学年第一学期大同七中期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四所山西省本科院校的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 山西大同大学 B. 山西师范大学 C. 山西医科大学 D. 中北大学 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 4，5，10 C. 5，12，20 D. 4，15，23 3. 将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（ ）     A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4. 大同万龙白登山国际滑雪场位于山西省大同市白登山森林公园内，距离市中心约15公里，是当地规模较大、设施较完善的专业滑雪场之一．雪场通常从11月中旬开始造雪运营，雪期可延续到次年3月左右，适合初学者和进阶滑雪者体验，滑雪场有一滑雪道抽象为下图，坡角约为，滑雪道长约400米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A. 100米 B. 150米 C. 200米 D. 400米 5. 已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（ ） A. ①中线，②角平分线，③高线 B. ①高线，②中线，③角平分线 C. ①角平分线，②高线，③中线 D. ①高线，②角平分线，③中线 6. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A. 三条高的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 7. 如图，甲、乙两艘货船从海岛分别同时沿北偏西方向，北偏东方向驶出．若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（ ） A. 40海里 B. 30海里 C. 20海里 D. 10海里 8. 如图，点P在内部的一条射线上，于点Q，且，已知点P到射线的最小距离为10，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 甲在点处发现手机遗落在点处，但他需要先前往公路旁为乙送资料．若乙在公路上的点处等候，则下图中，乙所在位置能让甲所走路程最短的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 中国近年来新建了许多跨海跨峡谷大桥，如图桥梁支撑结构经常采用三角形结构，从数学角度来看，支撑结构是采用了三角形的_________________． 12. 直角三角形其中一个锐角的度数是，则另一个锐角的度数为_______． 13. 如图，，，，点E在边上，则的度数为________． 14. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 15. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 如图，四点共线，，，．求证：． 17. 如图，中，点，，，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于y轴对称的；写出、、的坐标． （2）直接写出的面积________． 18. 下面是八上课本第55页复习题12：已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：． 下面是小明证明的做题过程： 证明：， ， 第①步 在和中， ， 第②步 ． 第③步 （1）老师批改时，告知小明在第______步中有错，请你写出正确的证明过程； （2）若，，求证：． 19. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线与交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，的周长为28，求的面积． 21. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 22. 【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） （2）若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 23. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的解题方法．如图所示，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点B，可直接根据___________（填字母依据）证明． 【类比解答】（2）如图所示，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数． 【实际应用】（3）如图所示，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期大同七中期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四所山西省本科院校的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 山西大同大学 B. 山西师范大学 C. 山西医科大学 D. 中北大学 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项图形进行判断即可. 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 4，5，10 C. 5，12，20 D. 4，15，23 【答案】A 【解析】 【分析】比较较短两条线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A. ，能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，不能组成三角形． 3. 将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（ ）     A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，以为边的三角形有、、，共三个． 4. 大同万龙白登山国际滑雪场位于山西省大同市白登山森林公园内，距离市中心约15公里，是当地规模较大、设施较完善的专业滑雪场之一．雪场通常从11月中旬开始造雪运营，雪期可延续到次年3月左右，适合初学者和进阶滑雪者体验，滑雪场有一滑雪道抽象为下图，坡角约为，滑雪道长约400米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A. 100米 B. 150米 C. 200米 D. 400米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半 ，由此求解． 【详解】解：由题意知，中，，， ． 5. 已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（ ） A. ①中线，②角平分线，③高线 B. ①高线，②中线，③角平分线 C. ①角平分线，②高线，③中线 D. ①高线，②角平分线，③中线 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线，垂线，线段垂直平分线的作图方法进行判断即可． 【详解】解：①由作图方法可知，AD是BC边上的垂线，即AD为△ABC的高； ②由作图方法可知AD是∠BAC的角平分线； ③由作图方法可知D在BC的垂直平分线上，即AD是BC的中线； 故选D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的尺规作图，垂线的尺规作图，三角形高，角平分线，中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 6. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A. 三条高的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”即可解答． 【详解】解：要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点处． 7. 如图，甲、乙两艘货船从海岛分别同时沿北偏西方向，北偏东方向驶出．若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（ ） A. 40海里 B. 30海里 C. 20海里 D. 10海里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质. 证明是等边三角形，进而即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵（海里），， ∴是等边三角形， ∴（海里）， 即：两艘货船之间的距离为40海里． 故选：A． 8. 如图，点P在内部的一条射线上，于点Q，且，已知点P到射线的最小距离为10，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出点到两边的距离相等，判定为角平分线，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， 点到的距离为10． 点到射线的最小距离为10， 点到的距离为10． 点到两边的距离相等， 平分， ． ，， ， ． 9. 甲在点处发现手机遗落在点处，但他需要先前往公路旁为乙送资料．若乙在公路上的点处等候，则下图中，乙所在位置能让甲所走路程最短的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 作点M关于直线l的对称点，然后连接交直线l于点P，然后连接，再结合各选项即可解答． 【详解】解：要求乙所在位置能让甲所走路程最短的是：则需作点M关于直线l的对称点，然后连接交直线l于点P，然后连接；即选项C符合题意． 故选C． 10. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 中国近年来新建了许多跨海跨峡谷大桥，如图桥梁支撑结构经常采用三角形结构，从数学角度来看，支撑结构是采用了三角形的_________________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：支撑结构是采用了三角形的稳定性． 12. 直角三角形其中一个锐角的度数是，则另一个锐角的度数为_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】直角三角形两个锐角互余，由此求解． 【详解】解：直角三角形其中一个锐角的度数为， 则另一个锐角的度数为. 13. 如图，，，，点E在边上，则的度数为________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质；由全等三角形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解；掌握全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ； 故答案为：． 14. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 【答案】对应角相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】设点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，根据“”判断，即，；当，时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 当，时，根据“”判断， 即，，解得，； 当，时，根据“”判断， 即，，解得，， 综上所述，点的运动速度为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】略 17. 如图，中，点，，，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于y轴对称的；写出、、的坐标． （2）直接写出的面积________． 【答案】（1）如图，即为所求作： ，，， （2）4 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的作图，进而根据平面直角坐标系写出、、的坐标即可； （2）利用割补法计算面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为. 18. 下面是八上课本第55页复习题12：已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：． 下面是小明证明的做题过程： 证明：， ， 第①步 在和中， ， 第②步 ． 第③步 （1）老师批改时，告知小明在第______步中有错，请你写出正确的证明过程； （2）若，，求证：． 【答案】（1）② 正确过程如下所示： ，， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由不能证明两个三角形全等可知第②步有错；根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再利用证明，则可证明结论； （2）由全等三角形的性质和三角形外角的性质推出，，则可求出，进而可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线与交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，的周长为28，求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）80 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，进而求出，再利用三角形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的垂直平分线与交于点D， ， 的周长为28， ， ， ， 又， ． 21. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 【答案】（1）DCO，OD，理由如下： ∵AO⊥OD ∴∠AOB＝∠DOC＝90° 在△AOB与△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD， 故答案为：DCO，OD； （2）同意 理由：∵△AOB≌△DOC （已证） ∴OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC， ∴OA－OC＝OD－OB， 即AC＝DB， 在△ACE与△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（AAS）， ∴AE＝DE． 【解析】 【分析】（1）只需要根据AAC证明△AOB≌△DOC即可得到答案； （2）由△AOB≌△DOC得到OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，则AC＝DB，然后证明△ACE≌△DBE即可得到AE＝DE． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件 22. 【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） （2）若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】（1）角平分线的性质， （2）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （2）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：略； 在中，， ∴（米）， 由知（米）， ∴（米）， ∴日影的长为米． 23. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的解题方法．如图所示，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点B，可直接根据___________（填字母依据）证明． 【类比解答】（2）如图所示，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数． 【实际应用】（3）如图所示，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）； （3）解：，理由如下： 如图：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，根据全等三角形的判定和性质得出，然后根据，结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）延长交的延长线于点，首先由角平分线得到，根据全等三角形的判定和性质得出，即，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $