精品解析：山西省大同市平城区 2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年八年级第一学期阶段二质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 为弘扬体育精神，学校组织了“运动图标赏析”活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有长度分别为和的两根木条，若要与第三根木条组成三角形，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 3. 一块等腰直角三角板与一块直尺按如图方式放置．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，若要证明，可添加的条件为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一辆自行车，主车架是三角形结构，其中蕴含的道理是（ ）     A. 三角形的两边之和大于第三边 B. 三角形的内角和等于 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 三角形具有稳定性 6. 如图，在中，，为边上的中线．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边三角形中，点D为边的中点，过点D作的垂线，垂足为E，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 28 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是____． 12. 如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，，，，则的长为________． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．已知的周长为17cm，，则的周长为________． 14. 如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________m． 15. 和按如图方式摆放，其中，，点E为上一点，连接交于点F，．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，，，平分，交于点D，平分，交于点E．求的度数． 17. 如图，在中，点D，E在边BC上，．求证：． 18. 如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 19. 如图，在三角形纸片中，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点A与点D重合，展开得到折痕，设与交于点G，连接，． （1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （2）若，且，求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． ②画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于x轴对称的点的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为_______． 21. 阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 22. 以下为某班级撰写的项目报告，根据报告内容完成相应的任务． 项目主题 测量城市广场喷水池的直径 项目背景 为优化居住环境，市政府在城市广场修建了喷水池．数学兴趣小组发现，喷水池近似于圆形．由于无法直接测量喷水池的直径，兴趣小组的同学准备利用所学知识，设计可行方案来测量喷水池的直径 驱动问题 如何运用数学知识（或数学原理），设计方案测量喷水池的直径？（喷水池边缘忽略不计） 测量规划 现状：喷水池的直径无法直接测量． 数学原理：全等三角形或等腰三角形的性质． 工具：皮尺、测角仪等． 分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组 测量方案 方案一：如图1，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取三点A，B，C，使A，O，B三点共线，A与C，B与C分别能直接到达，AB与圆O分别交于点G，H．测得，的长，在，的延长线上分别取点D，E，使，，连接．用皮尺分别测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 方案二：如图2，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取两点A，B，使A，O，B三点共线，与圆O分别交于点D，E，在过圆心O且垂直于的直线上，用测角仪选择一点C，使．通过测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： （1）方案一设计的数学依据是________（填“”“”“”“”或“”）． （2）方案一中，若测得，，，求圆O（喷水池）的直径的长． （3）判断方案二是否可行．若可行，请写出所用的数学知识（或数学原理）；若不可行，请写出还需要满足哪些条件，即可利用方案二测量圆O（喷水池）的直径． 23. 综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级第一学期阶段二质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 为弘扬体育精神，学校组织了“运动图标赏析”活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 现有长度分别为和的两根木条，若要与第三根木条组成三角形，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系，第三边必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，且不能等于差值或和值。 【详解】解：设第三边长为， ∵ 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， ∴ ， 选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：满足，符合题意； 选项D：，不符合题意； ∴ 第三根木条的长度可以是． 故选：C． 3. 一块等腰直角三角板与一块直尺按如图方式放置．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，三角形内角和定理及三角板的性质．根据已知条件得到的对顶角度数及等腰三角形其中一个底角为，再利用三角形内角和定理求得的对顶角与的度数相等，即为所求． 【详解】解：∵， ∴其对顶角也为， 又∵等腰直角三角板的角位于直尺刻度下方， ∴根据三角形内角和定理得另一个角的度数为：， ∴该角为的对顶角， ∴． 故选：A． 4. 如图，已知，若要证明，可添加的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，结合已知条件逐一分析各个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是与的公共边， ∴， A、若添加条件，此时在和中，有，，，此时不满足全等三角形的判定定理的任意一种，包括“”“”“” “”“”，故A错误； B、若添加条件，在和中，有，，，同样不满足全等三角形的判定定理的任意一种，包括“”“”“” “”“”，故B错误； C、若添加条件，在和中，，，，满足全等三角形的判定定理“”，故C正确； D、若添加条件，在和中，有，，，不满足全等三角形的判定定理的任意一种，包括“”“”“” “”“”，同时这两个角不是对应相等的关系，故D错误． 故选：C． 5. 如图是一辆自行车，主车架是三角形结构，其中蕴含的道理是（ ）     A. 三角形的两边之和大于第三边 B. 三角形的内角和等于 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合主车架的结构特点进行判断． 【详解】解：A项：三角形两边之和大于第三边，这主要是用于三角形的三边关系的判断，与主车架的结构特点无关，故A错误； B项：三角形的内角和等于，这是关于三角形内角关系的知识，和主车架的结构和功能没有关系，故B错误； C项：直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形角的性质，与主车架的结构和功能没有关联，故C错误； D项：三角形具有稳定性，主车架的设计正是利用了这一性质，使其能够稳定地支撑整个自行车的框架，符合主车架的特点， 故选：D． 6. 如图，在中，，为边上的中线．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线定理及三角形内角和定理．根据已知条件可得出为等腰三角形，再由为边BC上的中线得出，，最后根据三角形内角和定理可得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵为边上的中线， ∴，， 又∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，在等边三角形中，点D为边的中点，过点D作的垂线，垂足为E，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质及三角形外角的定义．根据已知条件得出，，由得到的度数，从而利用三角形外角的定义求得，得出，通过点D为的中点得到的边长，紧接着利用含直角三角形的性质求得的值，最终求得的值． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴的边长为4， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形变化-对称，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质． 根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得出点和点是关于直线对称的对应点，它们到直线的距离相等是2个单位长度， 所以点的坐标是． 故选：A． 9. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及全等三角形的判定与性质．根据题中给出的已知条件分别对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A项：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 仅根据已知条件，无法得出，只有当平分时，才成立，故A错误； B项：∵四边形是长方形， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， 又∵，且， ∴，故B错误； C项：∵， ∴， 虽然，但仅根据现有条件无法得出，故C错误； D项：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于H， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是____． 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 12. 如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，，，，则的长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据已知条件利用“”证明，得到，再根据已知条件得到． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：7． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．已知的周长为17cm，，则的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形周长的计算．先根据是的垂直平分线得出，，从而得到的长度，再根据的周长为17cm得出，从而可得到的长度，最后再得出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵的周长为， ∴，即， ∴． 故答案为：11． 14. 如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________m． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义及直角三角形斜边上的中线定义．根据题意得出为等腰三角形，再由得出为的垂直平分线，从而得到，，又由E，F分别为，的中点推出，分别为和斜边上的中线，从而可知，最终求得所需钢架的总长度． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵E，F分别为，的中点， ∴，分别为和斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴需要的钢架总长度为：． 故答案为：35． 15. 和按如图方式摆放，其中，，点E为上一点，连接交于点F，．若，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由利用同位角相等定理得到，从而得到，即，最后再利用已知条件，根据线段间的和差关系可求得的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，，，平分，交于点D，平分，交于点E．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形外角的定义．先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形外角的定义求出的度数，紧接着再根据角平分线的性质求出的度数，最后即可求得的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17. 如图，在中，点D，E在边BC上，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据证明三角形全等即可． 【详解】略 18. 如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】 如答图所示，点即为公共健身驿站的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】略 19. 如图，在三角形纸片中，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点A与点D重合，展开得到折痕，设与交于点G，连接，． （1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） ． 证明如下：由折叠可得，，，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理． （1）先通过折叠的性质得出，进而推导出，利用“”证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠的性质推导出，利用三角形内角和定理得到的度数，最终即可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 由折叠得，，， ∴． ∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． ②画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于x轴对称的点的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为_______． 【答案】（1） ①如图所示，即为所求； 点的坐标为， ②如图所示，即为所求； 点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）①根据题意分别得出、、的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ②同①方法，分别得出、、的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出P的坐标，再根据P的坐标求出的坐标即可． 【小问1详解】 解：①由图象可知，点的坐标为． ②由图象可知，点的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意知，点P关于x轴对称的点的坐标为，且点P在内部， ∴点P的坐标为， 又∵点与点P关于y轴对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 21. 阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 （2） ，， ∴， ∴点P在的平分线上． （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质补充完整依据即可； （2）根据角平分线的定义将剩余的步骤补充完整即可； （3）过点P作于点F，于点H，于点G，连接，根据角平分线的定义可知求得，再根据三角形的面积公式及周长求得的面积． 【小问1详解】 解：由垂直平分线的定义可知，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如答图，过点P作于点F，于点H，于点G，连接． ∵点P到的距离为， ∴． ∴， ∵的周长为，即， ∴． 22. 以下为某班级撰写的项目报告，根据报告内容完成相应的任务． 项目主题 测量城市广场喷水池的直径 项目背景 为优化居住环境，市政府在城市广场修建了喷水池．数学兴趣小组发现，喷水池近似于圆形．由于无法直接测量喷水池的直径，兴趣小组的同学准备利用所学知识，设计可行方案来测量喷水池的直径 驱动问题 如何运用数学知识（或数学原理），设计方案测量喷水池的直径？（喷水池边缘忽略不计） 测量规划 现状：喷水池的直径无法直接测量． 数学原理：全等三角形或等腰三角形的性质． 工具：皮尺、测角仪等． 分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组 测量方案 方案一：如图1，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取三点A，B，C，使A，O，B三点共线，A与C，B与C分别能直接到达，AB与圆O分别交于点G，H．测得，的长，在，的延长线上分别取点D，E，使，，连接．用皮尺分别测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 方案二：如图2，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取两点A，B，使A，O，B三点共线，与圆O分别交于点D，E，在过圆心O且垂直于的直线上，用测角仪选择一点C，使．通过测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： （1）方案一设计的数学依据是________（填“”“”“”“”或“”）． （2）方案一中，若测得，，，求圆O（喷水池）的直径的长． （3）判断方案二是否可行．若可行，请写出所用的数学知识（或数学原理）；若不可行，请写出还需要满足哪些条件，即可利用方案二测量圆O（喷水池）的直径． 【答案】（1） （2）圆O（喷水池）的直径的长为8m （3）方案二不可行，需满足（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定． （1）根据方案一的方法可知，需证明，此时用到的数学依据为“”； （2）利用“”证明，得到，进而得出，计算其长度即可； （3）先分析方案二的可行性，此题方案不可行，需满足即可用方案二测量． 【小问1详解】 解：由方案一中，，可知，证明的依据为“”， 故答案为：． 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴圆O（喷水池）的直径的长为8m． 【小问3详解】 解：方案二不可行． 需满足，即可用方案二测量圆O（喷水池）的直径．（答案不唯一，合理即可） 23. 综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）①（或互补） ②，（或互相垂直且相等） （2）成立．证明如下： ， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． 又， ． （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解①②； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有是等边三角形，由（2）得，，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为①（或互补）；②，（或互相垂直且相等）； （2）略 （3），， ． 是等边三角形． ． 由（2）得，， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $