精品解析：江苏徐州市部分校2026-2027学年第一学期期中联考 九年级数学试题

2026-2027学年度第一学期期中联考 九年级数学试题 （满分140分 考试时间90分钟） 一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 2. 已知的半径为2，点P与在同一平面内，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键，即点在圆外，点在圆上，点在圆内． 根据点到圆心的距离与半径的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P在外． 故选：C． 3. 对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣1） B. 图象关于y轴对称 C. 图象位于第二、四象限 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误； B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误； C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误； D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的． 故选D． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 通过将方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：∵， ∴ 两边加4得 ，即． 故选C． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 6. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（　　） A. 95° B. 105° C. 115° D. 125° 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 7. 如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据k的几何意义和反比例函数图象的性质，可得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4， ， ， 由反比例函数图象可知，， ． 8. 如图，，为边上的一点，且，若以为圆心、为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足为，求得，即可解答． 【详解】解：如图，作，垂足为， 在中，，，故， 当时圆与射线没有公共点； 当，圆与射线相切，此时只有一个公共点； 当时，两个交点都在射线上，不符合“只有一个公共点”； 当时，圆与直线的另一个交点，落在射线的反向延长线上，射线上只有一个公共点，符合； 综上，或． 二、填空题（本题共10题，每小题3分，共30分） 9. 已知，，是方程的两个实数根，则______． 【答案】2026 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系中两根之和的公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 10. 如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，， ∴， 由勾股定理得， 则 解得． 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】把代入方程得，即． 所以． 12. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知圆锥底面半径和母线长，直接代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长， 将，代入公式，得， 该圆锥的侧面积为． 13. 如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据，可得反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－b＝0的值有两个相等的实数根，则b＝______． 【答案】－1 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程 x2＋2x－b＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于b的方程，解答即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－b＝0有两个相等的实数根， ∴△＝0， ∴4＋4b＝0， ∴b＝－1， 故答案为：－1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式的知识，熟练掌握有两个相等的实数根时，△＝0是关键． 16. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】，即反比例函数图象在一次函数图象上方，结合图形，即可解答． 【详解】解：由图可知，两个图象交点的横坐标为和． 在和的范围内，直线都在双曲线的下方，即， 所以的取值范围是或． 17. 如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，求得，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， 点在优弧上， 由圆周角定理，． 18. 已知直线与双曲线相交于点，则的值等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、分式的化简求值，根据一次函数和反比例函数得到，是解题的关键． 根据一次函数和反比例函数相交于点，得到，，再将整理为，最后整体代入求解，即可解题． 【详解】解：直线与双曲线相交于点， 则，， 整理得，， ， 故答案为：4． 三、解答题（本大题有7小题，共86分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 所以，； 【小问2详解】 解： ， ． 或， 所以，． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/厘米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如表关系： x/厘米 1 2 3 5 y/厘米 280 请根据表中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为175厘米时，他两腿迈出的步长之差为多少厘米？ 【答案】（1） （2）厘米 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）由待定系数法即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）设与之间的函数表达式为， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，即， ∴（厘米）， ∴当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为厘米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 21. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 22. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； （3）若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）这个愿望不能实现，理由如下： 根据题意，得， 整理得：， ， 所以该方程没有实数根，店长的平均每天盈利元的愿望不能实现． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用以及一元二次方程根的判别式的应用． （1）根据降价后的销量变化和单盒利润变化列出含的代数式； （2）根据总利润=单盒利润×销售量的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合题意的根得到结果； （3）同样根据总利润的等量关系列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否存在实数根，即可判断愿望能否实现． 【小问1详解】 设该种粽子每盒降价元，由题意可得： 可多售出盒， 每天可销售盒数是：盒． 降价前每盒原利润是:元, 降价元后每盒利润为:元． 【小问2详解】 由题意可得: 解得:(舍去), , 答:该种粽子每盒降价元时，平均每天可盈利元 【小问3详解】 略 23. 如图，在的方格中，的顶点都在格点处．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点作出的外接圆的一条直径； （2）在图②中，在的右侧且的左侧格点处找一点，使． 【答案】（1） 如答图①，即为所求． （2） 如答图②或答图③，点即为所求．（画法不唯一，正确作出一种即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，利用网格进行几何作图，掌握上述知识点是解题的关键． （1）和垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，连接点与该点后延长即可找到点，使得是的外接圆的一条直径； （2）根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）所得的的外接圆的圆心，根据半径相等可找到多个四点共圆的点（即为点），连接、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）在轴上找一点使的周长最小，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）求得点，代入反比例函数即可解答； （2）求得点的坐标，再根据轴对称的性质即可解答； （3）利用割补法即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 、、， 是的中点， ， 把代入反比例函数， 得； 【小问2详解】 解：令， 解得，经检验，是原方程的解， 即， 中的长固定，要使周长最小，只需最小， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，当三点共线时，最小，即周长最小． 设直线的表达式为， 代入点和点， 得， 解得，， ． 令，得， 解得，所以； 【小问3详解】 解： ，，，，， ， ． 25. 在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外）……，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为__________； ②面积的最大值为__________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且，求线段长的最小值． 【答案】（1）①4；② （2）证明：延长交圆弧于点，连接， 是的一个外角， ． 与都是弧所对的圆周角， ． ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）①连接， 证明为等边三角形，即可解答； ②当点在弦的垂直平分线与弧的交点处时，到的距离最大， 计算此时面积的最大值即可； （2）延长交圆弧于点，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质即可解答； （3）在上取点，使，连接,取，的中点，连接，可得点在以为圆心，长度为半径的圆上，当三点共线，即点在点处时，最短，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①如图，连接， ， ， ， 为等边三角形， ； ②如图，当点在弦的垂直平分线与弧的交点处时，到的距离最大， 此时， 为等边三角形， ， ， ， 面积的最大值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使，连接,取，的中点，连接， 在矩形中，，，， 点是的中点， ， ， ， 点在以为圆心，长度为半径的圆上， 当三点共线，即点在点处时，最短， ， ，, 的半径为， 取，的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ，即最短值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中联考 九年级数学试题 （满分140分 考试时间90分钟） 一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为2，点P与在同一平面内，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 3. 对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣1） B. 图象关于y轴对称 C. 图象位于第二、四象限 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（　　） A. 95° B. 105° C. 115° D. 125° 7. 如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，，为边上的一点，且，若以为圆心、为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本题共10题，每小题3分，共30分） 9. 已知，，是方程的两个实数根，则______． 10. 如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 12. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 13. 如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“>”“=”或“<”）． 15. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－b＝0的值有两个相等的实数根，则b＝______． 16. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是________． 17. 如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则_______． 18. 已知直线与双曲线相交于点，则的值等于________． 三、解答题（本大题有7小题，共86分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/厘米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如表关系： x/厘米 1 2 3 5 y/厘米 280 请根据表中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为175厘米时，他两腿迈出的步长之差为多少厘米？ 21. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 22. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； （3）若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 23. 如图，在的方格中，的顶点都在格点处．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点作出的外接圆的一条直径； （2）在图②中，在的右侧且的左侧格点处找一点，使． 24. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）在轴上找一点使的周长最小，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 25. 在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外）……，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为__________； ②面积的最大值为__________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且，求线段长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $