精品解析：广东省深圳实验学校光明高中部2027届高三第一学期第二次月考数学试题

2026-2027学年第一学期高三第二次月考 数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则直接化简即可. 【详解】由，则. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将集合中的元素分别代入集合中， 显然和满足集合的条件，即； 经检验可知，因此. 3. 设，则“”是“为偶数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件的判断即可选出答案. 【详解】若，则，比如取（奇数），，所以推不出为偶数； 若为偶数，设，则，也就是为偶数推得， 所以“”是“为偶数”的必要不充分条件. 4. 的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的单调性求得结果. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，即， 所以. 6. 数列的前项和，则数列的前6项和为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】计算的通项公式，再依次计算的前6项，再求和即可. 【详解】，当时，， 当时，， 不成立，所以，所以，，，，，， 所以的前6项和为. 7. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由定义域得函数对称中心的横坐标，由函数对称中心的性质求得纵坐标. 【详解】因为，则，函数定义域为 ， 是函数的对称中心. 8. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义，结合图象作出判断，得到答案. 【详解】A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义， ∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义， 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等比数列的前项和，为的公比，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由得，得（负值舍去），故A正确； ，故，故B错误； ，故C正确； ， 故D正确. 10. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象.关于函数与，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增 C. 函数是偶函数 D. 函数与的图象在上共有8个交点 【答案】BC 【解析】 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，可得到， 再将纵坐标伸长到原来的2倍，可以得到， 再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数， 对于A，所以函数的最小正周期为，即A错误； 对于B，当时，， 又正弦函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，即B正确； 对于C，函数是偶函数，即C正确； 对于D，将函数与的图象画在同一坐标系内，如下图所示： 由图可知函数与的图象在上共有6个交点，即D错误. 11. 对于函数，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“的最高点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若函数，则的最高点为 B. 若函数，其中，则 C. 若或有最大值，则有最高点 D. 若有最高点，则或有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的最大值可判断A，比较出可判断B，利用反例可判断C，结合并集含义和“的最高点”定义可判断D. 【详解】对于A，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减；所以当时，取到最大值， 故，且任取，得的最高点为，故A正确； 对于B，先证，即证， 设， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取到最小值，， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值，， 由， 得在上恒成立， 则在上恒成立， 任取，有，故， 故，故B正确； 对于C，取，取， 则无最大值，； 因为的函数值可趋向于正无穷大， 所以无最高点，则亦无最高点，故C错误； 对于D，因为有最高点，不妨设为的最高点， 且且， 所以或， 若，则， 又为的最高点，故对任意的，总有，故， 从而得； 若，同理可知； 所以若有最高点，则或有最大值，故D正确. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角公式将原式化简成二次齐次式，然后同除以化简计算可得. 【详解】由题意可得： . 故答案为：. 13. 记为数列的前项和，，都有，且，那么_________. 【答案】10 【解析】 【分析】由已知条件令，可得，即，从而可得数列的所有项都等于首项；再由，可得，从而求出. 【详解】由题知，，都有，令，则，所以， 又，，则，即数列的所有项都等于首项， 因为，所以，所以. 14. 若对任意，不等式恒成立，实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】法1：构造，利用导数研究函数的单调性及区间符号，分类讨论实数，验证将不等式恒成立转化在上是否恒成立，求实数的范围. 法2：当时，原不等式恒成立等价于恒成立.设，求导，根据函数的单调性结合洛必达法则求得参数的取值范围； 法3：当时，不等式显然成立.当时，原不等式恒成立等价于恒成立.设，求导，结合正弦函数性质及放缩法判断函数的单调性，结合洛必达法则求得参数的取值范围； 【详解】法1： 记，则， 记，则， 当时，，故在上单调递增. 又， ①若，即时， 必存在正数，使当时，单调递减， 此时，不满足题意； ②若，即时， 结合在上单调递增可知，在上恒成立， 则在上单调递增，故，满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 法2： 当时，不等式显然成立. 当时，原不等式恒成立等价于恒成立. 设， 则， 设， 当时，显然有； 当时，由，得单调递增，， 故当时，单调递增， 又根据洛必达法则，，故. 法3: 当时，不等式显然成立. 当时，原不等式恒成立等价于恒成立. 设，则. 设， 当时，，故. 设，则在上单调递增， 当时，，则单调递增. 又根据洛必达法则，，故. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1）极大值，极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的极值即可； （2）根据函数与不等式之间的关系得到，解得.再验证不等式的解集是否为即可. 【小问1详解】 . 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故在处取极大值，在处取极小值. 【小问2详解】 因为不等式的解集为， 由三次函数图象的性质可得，解得. 当时，， 由，得，符合题意. 故. 16. 已知数列满足，记其前项和为. （1）若，求的值； （2）若是等差数列，求其前项和； （3）是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在实数使，且可取任意实数 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式可得的奇数项和偶数项分别构成公差为4的等差数列，然后代入计算，即可得到结果； （2）结合（1）中的结论以及等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果； （3）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由，得， 两式相减，得， 因此，数列的奇数项和偶数项分别构成公差为4的等差数列， 因此，， 当时，. 【小问2详解】 设的公差为， 由（1）知，，故. 又，即，得， 故. 【小问3详解】 所以恒等于420，故存在实数使，且可取任意实数. 17. 年领导人非正式会议将于月日至日在深圳举行.深圳在筹备此次会议期间，利用无人机对核心展区进行安全巡检.某待检片区的平面示意图为，内角的对边分别为，其中为锐角，的面积为.根据前期航线建模数据，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若实地勘察发现，，点为内部的一处调度站，，求调度站到巡查起点的距离. 【答案】（1）， 由余弦定理得，，即， 由正弦定理得，， ， 为锐角，， 又或， 或， 为直角三角形或钝角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理化简已知等式，再通过正弦定理边角互化，得出，结合为锐角即可判断三角形形状； （2）结合（1）的结论与，得出为等腰直角三角形，法一：在中利用正余弦定理求出的余弦值，再在中用余弦定理求；法二：建立平面直角坐标系利用向量数量积求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的结果以及，可得为等腰直角三角形， 又. 法一：在中，根据余弦定理，， 解得，负值舍去， 又在中，根据正弦定理，， ， ， 在中，由余弦定理得，， 法二：以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系. ， 设，则， ， ， 两边平方，整理得， 因为为锐角，所以， 在中，由余弦定理得，， . 18. 类比数列，将定义域为同一数集的一列函数称为定义在上的函数列，记作.现有一个函数列，其中. （1）对于任意取定的正整数，分析函数的单调性； （2）对于任意取定的正实数，定义数列满足：， （i）分析数列的单调性； （ii）证明：. 【答案】（1）在上单调递增，上单调递减 （2）（i）单调递减 （ii）因为，所以， 要证，先证. 当时，； 当时，. 因此，对于任意正整数，则. 【解析】 【分析】（1）对关于求导，然后利用导数研究单调性即可； （2）（i）利用作差法，然后讨论正负即可得到数列的单调性； （ii）根据不等式，通过证明，即可得到. 【小问1详解】 令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 因此，在上单调递增，上单调递减. 【小问2详解】 （i） 由，知，分母恒正， 故，即， 所以数列单调递减. （ii）略 19. 已知函数.其中是自然对数的底数. （1）若曲线在处的切线也是曲线的切线，求实数的值； （2）若函数有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）由（i）知，， 所以， ， 要证，即证， 即证， 消去得 ①先证，即证， 令，即证，即证， 令，则，所以在单调递增， 所以，得证； ②再证，即证， 即证，即证， 令，即证，即证， 令，所以在单调递减， 所以，得证. 结合①②得，， 故. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出在处的切线方程，设出的切点坐标，表示出的切线方程，由两条切线重合对应斜率与截距分别相等，联立方程组即可求出； （2）（i）将零点问题转化为方程的根，利用同构思想，结合单调递增，将方程简化为，参变分离得，通过求导研究右侧函数的图象性质，由有两个交点得出的范围； （ii）利用（i）中的关系消去，将待证式转化为只含的式子，再通过换元（令）化为一元不等式，构造两个辅助函数，分别求导证明其单调性，得出两部分均大于即可得证. 【小问1详解】 ， 所以曲线在处的切线为. 设该直线与曲线相切于处， ， 故切线为， 对应系数相等，得，解得，故. 【小问2详解】 （i）令，则， 则， 由在R上单调递增，得， 所以函数有两个零点，等价于方程有两个正实数根. 于是，令， ，令，得， 当单调递增； 当单调递减， 故， 又，当时，， 所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三第二次月考 数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“为偶数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 数列的前项和，则数列的前6项和为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 7. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 8. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等比数列的前项和，为的公比，.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象.关于函数与，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增 C. 函数是偶函数 D. 函数与的图象在上共有8个交点 11. 对于函数，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“的最高点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若函数，则的最高点为 B. 若函数，其中，则 C. 若或有最大值，则有最高点 D. 若有最高点，则或有最大值 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________ 13. 记为数列的前项和，，都有，且，那么_________. 14. 若对任意，不等式恒成立，实数的取值范围为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若不等式的解集为，求实数的值. 16. 已知数列满足，记其前项和为. （1）若，求的值； （2）若是等差数列，求其前项和； （3）是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数；若不存在，说明理由. 17. 年领导人非正式会议将于月日至日在深圳举行.深圳在筹备此次会议期间，利用无人机对核心展区进行安全巡检.某待检片区的平面示意图为，内角的对边分别为，其中为锐角，的面积为.根据前期航线建模数据，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若实地勘察发现，，点为内部的一处调度站，，求调度站到巡查起点的距离. 18. 类比数列，将定义域为同一数集的一列函数称为定义在上的函数列，记作.现有一个函数列，其中. （1）对于任意取定的正整数，分析函数的单调性； （2）对于任意取定的正实数，定义数列满足：， （i）分析数列的单调性； （ii）证明：. 19. 已知函数.其中是自然对数的底数. （1）若曲线在处的切线也是曲线的切线，求实数的值； （2）若函数有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $