精品解析：广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2025届高三上学期第二次月考数学试卷（11月月考）

2025 届高三上学期第二次月考数学试题 数　学 试卷满分 150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可化简复数，进而可得虚部. 【详解】，所以虚部为， 故选：C 2. 集合，，那么“”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，然后利用充分条件及必要条件的定义即得. 【详解】∵集合，， ∴， ∴“” 是“”的充分而不必要条件． 故选：． 3. 已知等比数列中，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据下标和性质，结合同号可得. 【详解】由等比数列下标和性质可得， 又，所以. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式求得，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】， ， . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题. 5. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. 3 C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】首先对中的向量进行分解，转化为已知向量的数量积，然后利用向量数量积的公式求解即可. 【详解】由题知， 因为， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的分解，向量数量积的运算，属于基础题. 6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求得时函数的解析式，再利用基本不等式可求得答案。 【详解】∵函数为定义在上的奇函数， ∴，又当时，， ∴当时，，则， 又，∴当时，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的取值范围为. 故答案为：B 7. 已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用在上单调递增，结合导数求出的范围，再利用分段函数是增函数求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 则对恒成立， 即，，而函数在上单调递增，，则， 显然函数在上递增， 又函数在上递增，则，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 定义在R上的函数满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 506 B. 507 C. 1010 D. 1011 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】由， 因此函数的周期为， 当时，令，显然可得或， 当时，函数的函数值由增加到，增加到， 而函数的函数值由增加到，增加到， 而我们知道函数与函数的增长速度不一样，且当自变量越大时，函数增的速度远大于函数的速度， 因此当时，函数只有两个零点， 且,, 由， 当时，由， 因为当时，， 所以此时，因此此时函数没有零点， 又，因此在上函数有个零点， 当时，有两个零点2和4， 当时，无零点，由函数的周期性可知：当时，有一个零点， 因此有上，有个零点． 故选：B 二、多选题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9. 向量则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当时，的夹角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量平行和垂直的冲要条件可得A错误，B正确；由投影向量的计算可得C正确；举反例可得D错误； 【详解】对于A，当时，因，则两向量不平行，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以，故B正确； 对于C，当时， 则在上的投影向量为，故C正确； 对于D，当时，反向共线，故D错误； 故选：BC. 10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项由最值点代入解析式待定系数，结合解析式由利用整体取代方法求对称中心可得B项；C项由平移得化简得，利用整体取代方法求对称轴即可；D项，由诱导公式化简得，结合图象可知单调性. 【详解】A项，由得， ，解得，， 又，所以.故A正确； B项，因为，由，， 得函数的对称中心为，， 当时，得对称中心为，故B正确； C项，. 故其对称轴为，，所以不是函数的对称轴，故C错误； D项，， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 11. 表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 设，则 D. 所有满足的点组成的区域的面积和为 【答案】AD 【解析】 【分析】A，由题目信息计算，即可得答案； B，通过举特例可判断选项正误； C，利用结合题目信息可判断选项正误； D，由信息画出所在坐标系区域即可判断选项正误. 【详解】A选项，由题时，，， 则，故A正确； B选项，取，则， 故B错误； C选项，，则当时，， 则， 又，则，故C错误； D选项，由题要使，则，或，或， 或，或，所表示区域如下图阴影部分所示： 则区域面积为： ，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分． 12. 二项式的展开式中，x的系数为_________. 【答案】20 【解析】 【分析】先求出展开式通项公式，再由通项公式中的系数为1即可求出的系数为1的项，进而得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为: ， 由得， 则展开式中的系数为. 故答案为：20. 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对于：，可得， 当，则， 可知曲线在处的切线是； 对于：，可得， 令得， 由切点在曲线上得. 故答案为：. 14. 已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得出当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，进一步可将原问题等价转换为一元二次方程根的分布问题，从而列出不等式组即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示， 发现当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，且有3个根， 而关于的一元二次方程最多有两个根， 若方程有六个不相等实根， 则当且仅当关于的一元二次方程有两个不同的根，且， 所以当且仅当，解得， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,根据等差数列通项公式及前n项和公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得， ∴数列的前项和 ∴ ∴ 所以 16. 在中，内角的对边分别为的面积记为，满足． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理以及三角形面积公式进行化简可求的值，结合角的范围可得角； （2）由已知条件结合正弦定理以及和差角的正弦公式、辅助角公式进行化简，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得： 由三角形的面积公式可得：， 因为， 所以即 可得：，所以， 因为，所以， （2）由正弦定理可得： ，所以， 且， 所以 ， 因为，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 17. 如图，在五面体中，平面，为直角梯形，，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以且， 因为，， 所以且，所以四边形为 所以 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】(1)利用线线平行证明线面平行； (2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，所在直线分别为轴和轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，， 令，得， 设平面的法向量为， 则，， 令，得， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点. （1）求的方程； （2）求点关于的对称点的轨迹方程； （3）若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：设，，，，直线的方程为. 由题可知直线不过点，则. 联立得消去，整理得， 恒成立，则，， 直线的方程为，即. 令，得，则， 同理可得， 所以 ， 因此. 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，将其坐标代入抛物线的方程得的值，即可求解； （2）根据几何性质分析即可求解； （3）设，，，，直线的方程为，联立曲线与直线方程，结合韦达定理，表示出的坐标，利用即可求证. 【小问1详解】 由题意，可设点，. 由，得，解得， 所以，将其坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 因为点，关于对称，过点，所以. 当绕点旋转时，线段也绕点旋转， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 故点的轨迹方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：能直接列出等量关系式时可以用直接法求轨迹方程，解题步骤为： （1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等)； （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程； （3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件. 19. 定义函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数） 【答案】（1） （2） （3） 当为奇数时，有唯一零点，无最小值； 当为偶数时，没有零点，存在最小值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果； （3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数的零点个数及最值. 【小问1详解】 由， 可得, 所以曲线在处的切线斜率. 【小问2详解】 若对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则， 由解得，或；由解得， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，且当时，， 故的最小值为， 故，即的取值范围是. 【小问3详解】 ， 当时，， 因此当为奇数时，， 此时 则，所以单调递减， 此时，显然有唯一零点，无最小值， 当时， ， 且当时， ， 由此可知此时不存在最小值， 从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值， 当时，即当为偶数时，， 此时， 由，解得；由，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为， 即，所以当为偶数时，没有零点， 即当为偶数时，没有零点，存在最小值， 综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值； 当为偶数时，没有零点，存在最小值. 【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则： （1）恒成立恒成立； （2）恒成立恒成立； （3）恒成立，恒成立； （4）恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 届高三上学期第二次月考数学试题 数　学 试卷满分 150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，那么“”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等比数列中，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. 3 C. D. -3 6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 506 B. 507 C. 1010 D. 1011 二、多选题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9. 向量则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当时，的夹角为钝角 10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减 11. 表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 设，则 D. 所有满足的点组成的区域的面积和为 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分． 12. 二项式的展开式中，x的系数为_________. 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 14. 已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 在中，内角的对边分别为的面积记为，满足． （1）求； （2）若，求的取值范围． 17. 如图，在五面体中，平面，为直角梯形，，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点. （1）求的方程； （2）求点关于的对称点的轨迹方程； （3）若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：. 19. 定义函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $