福建省莆田市秀屿区北京大学附属中学莆田学校2025-2026学年 八年级上学期期中考数学试卷

2025-2026学年北大附中八年级上学期期中考试卷 数学试题 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1.第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩.下列运动标识中，是轴对称图形 的是() 2.小芳有两根长度为4cm和8cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选 择长度为()的木条. A.3cm B.5cm C.12cm D.17cm 3.如图，AB=DE,∠A=∠D,添加以下条件，不能使△MBC≌△DEF的是() A.AC=DF B.BC=EF C.∠B=∠E D.∠C=∠F 4.如图，在已知△ABC中，AB=AC,BD=DC,则下列结论中错误的是() A.∠BAC=∠B B.∠BAD=∠DAC C.AD⊥BC D.∠B=∠C 5.如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AC=8,BC=6,则△BCE的周长为() A.10 B.14 C.20 D.22 6.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠B=60°，则∠C的度数为() A.60° B.30° C.350 D.40° 7.一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是() 30° A.550 B.60° C.650 D.75 8.图1是长方形纸条，∠DEF=a,将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是() 图1 图2 A.2a B.90°+2a C.180°-2a D.180°-3a 9.如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA,若PC=10,则PD等于() B DA A.10 B.55 C.5 D.2.5 I0.如图，己知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F,∠AFD=60°.FG 为∠AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD,连接HA、HC,①BD=CE:②∠AHC=60°： ③FC=CG；④SAcD=SACGH:其中说法正确的有(） A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 空调 三角形支架 12.点A(3,-1)关于y轴的对称点是 13.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2的度数是 B 14.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E.若∠A=36°，∠BDC=76°，则 ∠BDE= D 15.下列命题的逆命题是假命题的有 (填序号)①对顶角相等：②两直线平行，同旁内角互补： ③全等三角形的周长相等： I6.如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E,EF⊥AM.若 ∠ACB=26°，∠CBE=24°，则∠AED= DR E M 三、解答题（本题共9小题，共86分) 17.如图，直线AD和BC相交于O,ABI/CD,∠AOC=9S°，∠B=50°，求∠D. D 18.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AC I9.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF 求证：AD平分∠BAC. 20.如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） D (I)画出格点△ABC关于直线DE的对称的△ABC: (2)在DE上画出点P,使PA+PC最小： 2I.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点 F (I)求证：AD=AF; (2)若∠C=60°，BD=4,EC=6,求AF的长. D E 22.如图，等腰直角△ABC中，CA=CB,点E为△ABC外一点，CE=CA,且CD平分∠ACB交AE于D, 且∠CDE=60°. (1)求证：△CBE为等边三角形： (2)若AD=5,DE=7,求CD的长. D 23.小兵遇到一个作图问题：如图，在△ABC中，∠B=3∠C,如何用尺规作图把△ABC分成三个等腰三角形， 下面是小兵设计的尺规作图过程 作法：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BC于另一点D: ②作线段CD的垂直平分线1，直线/交线段AC于点E: ③连接AD,DE,则△ABD,△ADE,△CDE即为所求的等腰三角形. 根据小兵设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明， 证明：由作图可知AB=AD, ∠B=∠·① ,∠B=3∠C, .∠ADB=3∠C. ,直线I为线段CD的垂直平分线， .CE=DE( (填推理的依据)，② ∴.∠C=∠CDE. .∴.∠AED=∠C+∠CDE=2∠C ,∠ADB=∠C+∠CAD=3C, ∴.∠CAD=∠ADB-∠C=2∠C. ∴.∠AED=∠CAD. ∴.AD=DE( (填推理的依据)，③ 由①②③得：△ABD,△ADE,△CDE均为等腰三角形. 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0,m),B(n,0),C(2n,m),m>0,n>0,且∠BA0=30. D B (备用图) (I)求证：△ABC是等边三角形： 2如备用图，AD∥BC,延长CB于点E,使得BE=号H.连接EO并延长，交AD于点D,若OD=OE,求 BC-AD的值（用含n的式子表示）， 25.如图，△ABC为等边三角形，在aABC的外侧作射线AP,∠BAP=(0°<a<90),点B关于射线AP的 对称点为点D,连接AD,CD,则CD交直线AP于点E. 备用图 (1)依题意补全图形： (2)当a=20°，∠ADC=_°： (3)当0°<a<60°时，用等式表示AE,BE,CD之间的数量关系，并证明： (4)若△DBC为等腰三角形，直接写出a的度数 四、附加题 26.在平面直角坐标系xOy中，对于直线1及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线I于点Q,若 PQ1,则称点P为直线I的关联点，当PQ=1时，称点P为直线I的最佳关联点，当点P与点Q重合时， 记PQ=0.例如，点P(1,2)是直线y=x的最佳关联点.根据阅读材料，解决下列问题.如图，在平面直 角坐标系xOy中，已知直线l:y=-x+3,42:y=2x+b. 6 “6 3 2 .-+2 计 6-5-4-3-2-1 123456 b-54-3-2-10】1.3456x T T 3 上3 6 6 ()已知点A(0,4),B(3,1),C(2,3),上述各点是直线4的关联点是 (2)若点D(-1,m)是直线的最佳关联点，则m的值是 (3)点E在x轴的正半轴上，点A(O,4),以OA、OE为边作正方形AOEF,若直线h与正方形AOEF相交， 且交点中至少有一个是直线的关联点，则b的取值范围是 2025-2026学年北大附中八年级上学期期中考试卷 参考答案 一、单选题 1-5CBBAB 6-10BDCCC 10.解：①△ABC是等边三角形， ∠B=∠ACE=6O°，BC=AC, '∠AFD=∠CAE+∠ACD=60,∠BCD+∠ACD=∠ACB=6O°， ∴∠BCD=∠CAE, 在△BCD和△CAE中， I∠B=∠ACE BC=AC ∠BCD=∠CAE ∴△BCD≌△CAE(ASA), ∴.BD=CE,故①正确，符合题意： ②如图，作CM⊥AE交AE的延长线于M,作CN⊥HF于N, ∠EFC=∠AFD=6O°， H ∠AFC=120°， :FG为△AFC的角平分线， D G N ÷∠CFH=∠AFH=6O°， ∴.∠CFH=∠CFE=60°， B EM CM⊥AE,CN⊥HF, ∴.CM=CN, ·∠CEM=∠ACE+∠CAE=6O°+∠CAE,∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE, ∴.∠CGN=∠CEM, 在△ECM和aGCN中， I∠CGN=∠CEM ∠CME=∠CNG=90, CM=CN ∴△ECM2aGCN(AAS), ∴.CE=CG,EM=GN,∠ECM=∠GCN, ∴∠MCN=∠ECG=60, 由①知△BCD≌△CAE(ASA), .AE CD, HG CD, .AE=HG, .AE+EM=HG+GN AM HN 在△AMC和△HNC中， AM HN ∠AMC=HNC=90, CM=CN ∴△AMC≌aHNC(SAS), ∠ACM=∠HCN,AC=HC, .∴∠ACM-∠ECM=∠HCN-∠GCN,即∠ACE=∠HCG=60°， ∴△ACH是等边三角形， ∠AHC=60心，故②正确，符合题意： ③由②知，∠CFH=∠AFH=60°， 若FC=CG,则∠CGF=60°，从而∠FCG=60°，这与∠ACB=60°相矛盾，故③错误，不符合题意： ④：aECM≌aGCN(AAS),△AMC≌aHNC(SAS), ∴.S.Ac-SECw=Sc-SGcv,即SAcs=ScGw, .·△CAE≌ABCD, ∴.S.CD=SGw=SCE,故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C. 二、填空题 11.三角形稳定性 12.(-3,-1) 13.270° 14.40° 15.①③ 16.40 I.【详解】解：如图，连接CE,过点E作ER⊥AC于R,CD交ER于Q,AE交BC于O, ,DE是线段BC的中垂线， ∴.∠EDC=90°，CE=BE, D ∴.∠ECB=∠EBD, ∠CBE=24°， B M ∴.∠DEB=∠CED=90°-24°=66°， :ER⊥AC,ED⊥BC, ∴.∠QRC=∠QDE=90°， ∴.∠ACB+∠CQR=90°，∠EQD+∠QED=90°， :∠CQR=∠EQD, ∴.∠ACB=∠QED, .∠ACB=26°， ∴.∠QED=26°， :AE平分∠CAM,ER⊥AC,EF⊥AM, ∴ER=EF, 在RteERC和Rt△EFB中， CE =BE ER=EF' ∴.Rt ERC≌Rt△EFB(HL), ∴.∠EBF=∠ACE=LACB+∠ECD=50, :∠EFB=90°， ∴.∠BEF=90°-∠EBF=40°， ∴，∠REF=∠RED+∠EBD+∠BEF=132°， ,∠ARE=∠AFE=90°， ∴.∠CAM=360°-90°-90°-130°=48°， :AE平分∠CAM, ∴.∠CAE=1∠CAM=24, ∴.LD0E=∠CAE+LACB=50°， :ED⊥BC, ∴.∠EDB=90°， .∠AED=90°-∠D0E=40 三、解答题 17.解：：AB/ICD, “.∠A=∠D,∠B=∠C, :∠A0C=95°，∠B=50°， ∴.∠C+∠D=95°， 即50°+∠D=95°， ∴.∠D=45°. 18.解：∠3=∠4 ∴.∠ADC=∠ADB 在△ADC和△ADB中 ∠1=∠2 AD=AD ∠ADC=∠ADB .'.△ADC≌△ADB(ASA) ∴.AC=AB 19.证明：，D是BC的中点， ..BD=CD, ,DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED和Rt△CFD中 BD=CD BE=CF ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∴.DE=DF: 即AD平分∠BAC 20.(1)解：如图所示，△A,B,C即为所求： (2)解：如图所示，点P即为所求。 力 A B B 21.(1)证明：AB=AC, ∴.∠B=∠C, ,FE⊥BC, .∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°， ∴.∠F=∠BDE, ,∠BDE=∠FDA, ∴.∠F=∠FDA, ∴.AD=AF: (2)解：，AB=AC,∠C=60°， △ABC是等边三角形， ∴.∠B=60°，AB=BC, ,DE⊥BC, ∴.∠DEB=90°， ∴.∠BDE=90°-60°=30°， :BD=4,EC=6, E=80=x4=2, -2 .AB=BC=BE+EC=2+6=8, .AD=AB-BD=8-4=4, 由(1)可知，AD=AF, .AF=4. 22.(1)证明：，CACB,CE-CA, ∴.BC=CE,∠CAE=∠CEA, ,CD平分∠ACB交AE于D,且∠CDE=60°， '.∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°， ∴.∠DAC=∠CEA=15°， ∴.∠ACE=150°， ∴.∠BCE=60°， ∴.△CBE为等边三角形： (2)在AE上截取EM=AD,连接CM. B 在△ACD和△ECM中， AD-EM ∠DAC-∠IMEC E LAC=EC M D ∴.△ACD≌△ECM(SAS), ∴.CD=CM, :∠CDE=60°， ∴.△MCD为等边三角形， ∴.CD=DM=7-5=2. 23.(1)解：如图所示 E B (2)①ADB:②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等：③等角对等边 证明：由作图可知AB=AD ∴.∠B=∠ADB.① ∠B=3∠C, .∠ADB=3∠C. ,直线I为线段CD的垂直平分线， ∴.CE=DE(垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)（填推理的依据），② .∴.∠C=∠CDE ∴.∠AED=∠C+∠CDE=2∠C ,∠ADB=∠C+∠CAD=3YC, ∴.∠CAD=∠ADB-∠C=2∠C. ∴.∠AED=∠CAD. ∴.AD=DE(等角对等边)（填推理的依据），③ 由①②③得：△ABD,△ADE,△CDE均为等腰三角形. 故答案为：ADB:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等：等角对等边 24.(1)如图所示，过点C作CD⊥x轴，交于点D, A0,m),B(n,0),C(2n,m), 本y .AO=CD=m,BO=nAC=DO=2n, ∴.AC∥DO,BD=BO=n. ∠BA0=30°， ∴.∠BAC=90°-30°=60°， B D ,CD⊥x轴，OALx轴 ∴.∠BOA=∠BDC 在△BOA和△BDC中 AO=CD ∠BOA=∠BDC BD=BO '.△BOA≌△BDC(SAS) ∴.AB=BC ∴，△ABC是等边三角形： (2)如图，CG⊥OB截取CF=AD,过点C作于点G,连接FG,则BG=OB=, 由(I)得aABC是等边三角形 ..∠ABC=60 :AD∥BC ∴.∠DAB=60° ,∠BA0=30°， B ∴.∠DA0=∠BA0=60°-30°=30 ∴.LDAO=LBA0=LFCG 在△AOD和△CGF中 AD=CF ∠DAO=∠FCG AO=CG ∴.△AOD≌△CGF(SAS) ∴.∠DOA=∠FGC ,∠DOA+∠BOE=∠FGC+∠FGB=90° ∴.∠BOE=∠FGB 在△OEB和△GFB [∠OBE=∠FBG BG=OB ∠BOE=∠FGB ,.△OEB≌△GFB(ASA) 4 ∴.BF=BE=二n, 3 :BC-CF=BC-AD-3M. 4 25.(1)解：过点B作AP的垂线，交AP于点O,截取OD=OB,则点D是点B关于射线AP的对称点，连 接AD、CD,则CD交直线AP于点E,如图所示： D B (2)40 解：，△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=6O°，AB=AC, 根据轴对称可知：∠DAP=∠BAP=20°，AD=AB, .∠DAC=∠DAP+∠BAP+∠BAC=10O°， ∠4ADc=∠4cD=080-10）=40 (3)解：CD=AE+2BE, 证明：如图，在CD上截取BG=BE, :△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB,∠BAC=60°， 由对称可知：AB=AD,∠PAB=∠PAD,BE=DE, ∴.AC=AD, ∴∠ACD=∠D, :∠BAP=a, .∠PAD=a, .∠CAD=∠BAC+∠PAB+∠PAD=60°+2a, ∠ADc=80-∠C4D)=60r-a. :∠AEC=∠D+∠DAP=60°-a+a=60°， ∴.∠DAE=60°-∠D,∠BCG=60°-∠ACD, :∠ACD=∠D, ∴.∠BCG=∠DAE, 由对称可知：DE=BE,∠PEB=∠PED, :∠PED=∠AEC=60°， ∴.∠PEB=∠PED=60°， ∴.∠BEG=180°-60°-60°=60°， BG=BE, △BGE是等边三角形， ∴，BG=EG=BE=DE,∠BGE=6O°， ∴.∠BGC=120°， :∠AED=180°-∠AEC=120°， ∴.∠AED=∠BGC, 在△BCG和△DAE中， [∠BCG=∠DAE ∠BGC=∠AED, BC=AD ∴.△BCG≌aDAE(AAS), AE=CG, 'EG=BE=DE, ∴.CD=AE+2BE: (4)a的值为30°或75 解：①当BC=BD时，如图： 根据轴对称可知：AB=AD, ∴.AB=AD=BC=BD, “.△ABD是等边三角形， ∴.∠BAD=60°， ∴.4=。×60°=30°： 2 ②当BD=CD时，延长DA交BC于点E,如图所示： D ·.AC=AB.BD=CD ∴，AD垂直平分BC,即AE垂直平分BC, ,△ABC为等边三角形， G∠BAE=ZCAE-BAC=30 .∠DAB=180°-30°=150°， 根据轴对称可知：a=∠PAD=∠PAB=∠DAB=75; ③当BC=CD时，如图： CD=BC,AD=AB, A D ∴.AC垂直平分BD, 根据轴对称可知，4AP垂直平分BD, ∴.C,A,P三点在同一条直线上， B ∴.∠PAB=a=I80°-∠BAC=120°（不合题意，舍去）， 综上所述，当△DBC是等腰三角形时，a的值为30°或75°. 四、附加题 26.(1)A、B -x+3 解：如图，当y=4时，x=-1, 6 ∴.PQ=1, A点是直线的关联点： 当y=1时，x=2, 6-54-3-2-10 56 P0=2- ∴B点是直线l的关联点： 6 当y=3时，x=0, .PQ=2>1, ∴C点不是直线的关联点： 故答案为：A、B: (2)3或5 设过点D的垂直于y轴的直线交（于点P, 当y=m时，x=3-m, +3 ∴.PD=3-t1=4-ml, 点D(-1,m)是直线山的最佳关联点， ∴.4-m=1, 6-54-3-2 56 .m=3或m=5, 故答案为：3或5： (3):四边形OAEF是正方形，A(0,4), ∴.OA=OE, ∴.E点在x轴正半轴， .E(4,0), 如图，当直线2在和之间，在和。之间时，符合条件： 当=4时，对于(，3x=1,此时A是直线的最佳关联点，当直线经过(0,4)时，b=4: 当=1时，对于(，=2，此时B是直线的最佳关联点，当直线2经过(0,2)时，b=2, ∴，2≤b<4时，交点中至少有一个是直线山的关联点： 当=0时，对于(，=3,3-1=2，此时C是直线1的最佳关联点，当直线，经过(2,0)时，b=-4, 当-0时，对于(，3x=3,3+1=4,此时￡是直线4的最佳关联点，当直线马经过(4,0)时，b=-8, ∴.当-8≤b≤-4时，交点中至少有一个是直线1的关联点： 综上所述：2<b<4或-8<bs-4时，交点中至少有一个是直线的关联点. 故答案为：2≤bs4或-8≤bs-4. =-x+3 6 6-5-4-3y--10