精品解析：上海市杨浦区复旦实验中学等校2026－2027学年八年级第一学期数学期中质量调研卷

2026学年第一学期期中质量调研卷 初二年级数学学科（时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 在实数3.14、0、、、、中，无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列选项正确的是（　　） A. B. C. 的算术平方根是1 D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根与立方根相同 B. 实数与数轴上的点一一对应 C. 两个无理数的和还是无理数 D. 对于实数，若，则 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 填空：的平方根是___________． 8. 若最简二次根式与可以合并，则__________． 9. 化简：_______． 10. ，，则________． 11. 一元二次方程的解为________. 12. 的小数部分的平方是________． 13. 写出一个的有理化因式，这个有理化因式是________． 14. 已知：x，y满足关系，则的立方根是________． 15. 如果方程有两根、，则________． 16. 不等式的解集是______． 17. 某大型户外演出使用一块直角三角形场地，其中，，，舞台灯光控制系统设置了两个沿直线轨道匀速移动的光束定位点、．其中，从点出发，沿方向以的速度移动；同时从点出发，沿方向以的速度移动，经过点后继续沿原方向移动．灯光系统以为固定顶点，以、为两条边，实时投射出一个直角三角形光照区域．当的光照面积为时，两定位点已经运动了________秒． 18. 关于的一元二次方程有一个根为，那么关于的一元二次方程一定有一个根为________． 三、简答题（每题6分，共24分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简，后求值：，其中，． 22. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 四、解答题（23题10分，24题12分，共22分） 23. 关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）用来表示两根的倒数之和． （2）若两根的倒数之和为2，求出的值． （3）若，，求． 24. 综合与实践 阅读材料 在数学发展的长河中，基本不等式占据着极为重要的地位．基本不等式是指对于正数、有，当且仅当时等号成立． 早在古希腊时期，欧几里得就在《几何原本》中通过几何图形的关系，揭示了“算术中项”不小于“几何中项”的古老真理；到了1821年，数学家柯西在《分析教程》中利用反向归纳法给出了该不等式的严谨代数证明．随着代数符号体系的发展，后世的数学家在探索中发现，无需烦琐的几何构图或复杂的归纳推理，仅利用实数的非负性即可给出一个简洁而优美的代数构造． 任务1用学过的知识来证明基本不等式 当，时 ∵， 又∵， ∴，即． （1）当且仅当________时，等号成立． （2）若，代数式的最小值为________，此时________． 任务2在劳动课上，几位八年级学生组成了一个小组，小组的任务是计划用长方形硬纸板制作一个无盖的长方体桌面收纳盒，用于存放文具和学习用品．要求收纳盒的底面形状为长方形或正方形，且底面积为，高为．若不考虑纸板的厚度及裁剪损耗，制作这样一个收纳盒，至少需要多少平方厘米的长方形硬纸板？ （3）图纸设计： 【解决问题】 （4）若不考虑纸板的厚度及裁剪损耗，制作这样一个收纳盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中质量调研卷 初二年级数学学科（时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 在实数3.14、0、、、、中，无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：，， ∴在实数3.14、0、、、、中，无理数有，，一共2个， 故选：C． 2. 下列选项正确的是（　　） A. B. C. 的算术平方根是1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】A．，故该选项是错误的，不符合题意； B．，故该选项是错误的，不符合题意； C．没有算术平方根，故该选项是错误的，不符合题意； D．，故该选项是正确的，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解本题的关键． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根与立方根相同 B. 实数与数轴上的点一一对应 C. 两个无理数的和还是无理数 D. 对于实数，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以1的平方根是，因为，所以1的立方根是1，由于1的平方根与立方根不相同，所以选项A错误； B、实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以选项B正确； C、例如和都是无理数，它们的和为，而0是有理数，所以选项C错误； D、根据二次根式的性质，，当时，；当时，．已知，则，而不是，所以选项D错误． 故选：B． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、，无法合并，故此选项不合题意； B、无法化简，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 下列关于的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，逐一判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．中，，无实数解，故该选项不符合题意， B．中，，无实数解，故该选项不符合题意， C．中，， ∵当时，，方程无实数解， ∴该方程不一定有实数解，故该选项不符合题意， D．中，， ∵， ∴，方程一定有两个不相等的实数解，故该选项符合题意． 6. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 8. 若最简二次根式与可以合并，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解二元一次方程组，掌握最简二次根式的定义，同类二次根式的定义是解题的关键． 由于两个根式都是最简二次根式且可以合并，因此它们的根指数相同且被开方数相等，列方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得 ∴． 故答案为：． 9. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10. ，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对比待求被开方数与已知算术平方根的被开方数的小数点位置变化，结合算术平方根的小数点移动规律计算结果 【详解】解：先对比被开方数的小数点位置 的小数点向左移动位可得到 根据算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向相同方向移动位 ∵已知 ∴被开方数的小数点左移位时，算术平方根的小数点需左移位 即 11. 一元二次方程的解为________. 【答案】， 【解析】 12. 的小数部分的平方是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过相邻正整数的平方值估算的整数部分，据此写出其小数部分的表达式，再利用完全平方公式计算小数部分的平方并化简． 【详解】解： ，，且， ， 的整数部分为3，其小数部分为， 该小数部分的平方：． 13. 写出一个的有理化因式，这个有理化因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合平方差公式的结构特征，找到与原式相乘后积不含二次根式的代数式，即为所求的有理化因式． 【详解】解：∵， ∴是的有理化因式． 14. 已知：x，y满足关系，则的立方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的立方根，根据二次根式有意义条件求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：． 15. 如果方程有两根、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出一元二次方程的两个根，所求代数式为两根的比值和形式，无需单独求解两根的值，可通过代数式变形结合根与系数的关系整体代入计算． 【详解】解：根据根与系数的关系，对于方程，可得：，， . 16. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，二次根式的化简与合并．先将不等式中的二次根式化简为最简二次根式，然后根据一元一次不等式的性质来解不等式，注意最后x的系数是负数，在系数化为1的时候要改变不等号的方向并且结果要分母有理化． 【详解】解： 化简二次根式： 移项： 合并： 解得． 17. 某大型户外演出使用一块直角三角形场地，其中，，，舞台灯光控制系统设置了两个沿直线轨道匀速移动的光束定位点、．其中，从点出发，沿方向以的速度移动；同时从点出发，沿方向以的速度移动，经过点后继续沿原方向移动．灯光系统以为固定顶点，以、为两条边，实时投射出一个直角三角形光照区域．当的光照面积为时，两定位点已经运动了________秒． 【答案】10或15 【解析】 【分析】设运动时间为秒，先用表示、的长度，根据直角三角形面积公式列一元二次方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，根据题意得 ，则，，． 整理： 解得，． ∴两定位点已经运动了10或15秒． 18. 关于的一元二次方程有一个根为，那么关于的一元二次方程一定有一个根为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将已知根代入第一个方程得到恒等式，通过等式的恒等变形匹配第二个方程的结构，即可得到第二个方程的对应根 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入方程可得， ∵等式两边同时除以不为0的数，等式仍然成立， ∴整理可得． 对比方程的结构，上式恰好是将代入该方程左边的计算结果，即满足方程成立的条件． ∴是该方程的一个根． 三、简答题（每题6分，共24分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各项二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）二次根式乘除运算，系数与系数运算，被开方数与被开方数运算，最后化简为最简二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 20. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程． （1）利用公式法先求出的值，再利用公式求出x的值，从而得到和的值； （2）先将方程展开化简整理得：，再通过因式分解法得到，此时或，从而求得x的值． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：． ， ， ， 则或， ∴，． 21. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 22. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且且 【解析】 【详解】解：∵二次项系数不为零， ∴， 解得且， 判别式 ∵判别式大于零， ∴ 解得 综上，的取值范围为：且且 四、解答题（23题10分，24题12分，共22分） 23. 关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）用来表示两根的倒数之和． （2）若两根的倒数之和为2，求出的值． （3）若，，求． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）先把方程整理为一元二次方程标准形式，利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积，将倒数和变形为代入化简． （2）借助（1）得到的代数式列方程求解，再结合判别式得到的取值范围． （3）先对两个等式变形，化为同一个一元二次方程形式；、都满足该方程，先判定方程两根均为正数，保证根式有意义，再分、两种情况讨论求值． 【小问1详解】 解：整理原方程，得 由根与系数的关系可得 ． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 去分母，得， 整理，得， 解得， ， 解得， ，舍去， ，符合条件， ． 【小问3详解】 解：整理，得 ， 两边同时除以，得， 整理，得 两边同时除以，得， ，都可以是方程的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为，两根之积为，可知方程两根均为正数，满足二次根式有意义的条件． ①当时 ， ②当时，，是方程两个不相等实数根 由根与系数的关系得 ． 综上，原式的值为或． 24. 综合与实践 阅读材料 在数学发展的长河中，基本不等式占据着极为重要的地位．基本不等式是指对于正数、有，当且仅当时等号成立． 早在古希腊时期，欧几里得就在《几何原本》中通过几何图形的关系，揭示了“算术中项”不小于“几何中项”的古老真理；到了1821年，数学家柯西在《分析教程》中利用反向归纳法给出了该不等式的严谨代数证明．随着代数符号体系的发展，后世的数学家在探索中发现，无需烦琐的几何构图或复杂的归纳推理，仅利用实数的非负性即可给出一个简洁而优美的代数构造． 任务1用学过的知识来证明基本不等式 当，时 ∵， 又∵， ∴，即． （1）当且仅当________时，等号成立． （2）若，代数式的最小值为________，此时________． 任务2在劳动课上，几位八年级学生组成了一个小组，小组的任务是计划用长方形硬纸板制作一个无盖的长方体桌面收纳盒，用于存放文具和学习用品．要求收纳盒的底面形状为长方形或正方形，且底面积为，高为．若不考虑纸板的厚度及裁剪损耗，制作这样一个收纳盒，至少需要多少平方厘米的长方形硬纸板？ （3）图纸设计： 【解决问题】 （4）若不考虑纸板的厚度及裁剪损耗，制作这样一个收纳盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】（1） （2）， （3） （4）400平方厘米 【解析】 【分析】（1）时，等号成立的条件是当且仅当，即，再由不等式的性质求解即可； （2）利用求解最小值，再由求解取得最小值时的值； （3）根据无盖长方体展开图特征作图即可； （4）设无盖长方体底面长方形的长为，则宽为，先表示出无盖长方体的表面积，再由题干方法求出无盖长方体需要的材料，而题目要求的是原始的整个长方形纸板，因此还需要加上四个小正方形的面积． 【小问1详解】 解：∵时，等号成立的条件是当且仅当，即， ∴时，等号成立的条件是当且仅当， 即时，等号成立的条件是当且仅当； 【小问2详解】 解：∵，代数式，当且仅当，即时，等号成立； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设无盖长方体底面长方形的长为，则宽为， 则表面积 ∵，则， 故表面积， 因此，制作这样一个收纳盒，至少需要平方厘米的硬纸板． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $