精品解析：上海市杨浦区2025-2026学年八年级数学上学期期中数学试卷

2025学年第一学期期中质量调研卷初二年级数学学科 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列各数中，无理数的个数有（ ） （每两个相邻的2之间多一个1） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是（ ） A. B. 0的平方根是0 C. D. 的平方根是2 3. 下列说法错误的是（ ） A. 实数可分为正实数和负实数两类 B. 正实数包括正有理数和正无理数 C. 实数在数轴上都有唯一对应的点 D. 数轴上任一点都有唯一对应的实数 4. 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（ ） A. 第一个等号后 B. 第二个等号后 C. 第三个等号后 D. 两位同学都没错 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 8. 用科学记数法把表示为_____； 9. 客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 10. 实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 11. 化简：________． 12. 化简：_____； 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 14. 已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____． 15. 写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 16. 方程的解为____________ 17. 不等式的解集是_____； 18. 如图，四边形中，，的平分线交于点，点是边的中点，已知，，则与的比值为_____． 三、简答题（每题5分，4题共20分） 19. 化简： 20. 化简： 21. 用合适的方法解方程： 22. 已知，求的值． 四、解答题（23，24题每题8分，25题10分，共26分） 23. 已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 24. （1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 25. （1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量调研卷初二年级数学学科 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列各数中，无理数的个数有（ ） （每两个相邻的2之间多一个1） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数， 逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：， 由无理数的定义可判断是无理数， 所以无理数有三个， 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. B. 0的平方根是0 C. D. 的平方根是2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 实数可分为正实数和负实数两类 B. 正实数包括正有理数和正无理数 C. 实数在数轴上都有唯一对应的点 D. 数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 4. 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 5. 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式或简化方程，判断每个方程是否有实数根．二次方程有实数根当且仅当判别式． 【详解】解：A、，，此方程无实数根，不符合题意； B、，，此方程无实数根，不符合题意； C、，简化得 ，矛盾，无解，即此方程无实数根，不符合题意； D、，，此方程有实数根， 故此方程有实数根，符合题意． 故选：D． 6. 甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（ ） A. 第一个等号后 B. 第二个等号后 C. 第三个等号后 D. 两位同学都没错 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误． 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 8. 用科学记数法把表示为_____； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 10. 实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】考查二次根式的性质（、）、数轴上数的大小关系．关键是根据数轴判断符号，正确化简绝对值和二次根式，易错点是忽略根号下表达式的非负性及绝对值符号的处理． 由数轴得，．则，，两者相加得． 【详解】由数轴可知，且． ，． ，根号有意义，，． 因此，原式化简为． 故答案为：． 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数为非负数，得，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 化简：_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把化为最简二次根式后，因此令 等于 化简后的被开方数即可求解． 【详解】解：∵， 与是同类二次根式， ∴，解得． 故答案为 3． 14. 已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____． 【答案】1<c<5　 【解析】 【详解】∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6 ∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1 ∴x1﹣x2=1，又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，∴1＜c＜5． 故答案为1＜c＜5． 15. 写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系，根据已知两根计算两根之和与两根之积，从而构造一元二次方程的一般式即可． 【详解】解：设一元二次方程为 ，根据根与系数的关系，有 ，， 已知 ，， 计算两根之和： ， 所以 ， 计算两根之积： ， 所以 ， 因此，方程为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 方程的解为____________ 【答案】， 【解析】 【分析】首先移项进而提取公因式，进而分解因式求出即可． 【详解】解： ， ， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 17. 不等式的解集是_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，准确计算是解题的关键． 通过判断系数的符号，确定不等号方向是否改变． 【详解】解不等式， ， ， 不等式两边同时除以， ． 故答案是：． 18. 如图，四边形中，，的平分线交于点，点是边的中点，已知，，则与的比值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、二次根式的分母有理化，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．先根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，则可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据线段和差求出，，根据二次根式的分母有理化方法求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（每题5分，4题共20分） 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】考查立方根、二次根式、负指数幂、零指数幂的运算性质．关键是熟练掌握各运算的公式，易错点是负指数幂、零指数幂的符号及数值计算错误． 分别计算各项： ； ； ； ． 再将各项结果代入原式． 【详解】原式 20. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 21. 用合适的方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 原方程的解是． 22. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入，得 原式 ． 四、解答题（23，24题每题8分，25题10分，共26分） 23. 已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】（1） 解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2） 解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ 与是负数． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. （1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 25. （1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $