精品解析：上海市西南模范初级中学2026--2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

上海市西南模范初级中学2026--2027学年八年级上学期期中考试数学试卷 2026.11 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 一、选择题 1. 在实数（相邻两个6之间0的个数逐次增加）中，无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根与8的立方根相同 B. 对于实数，若，则 C. 两个无理数的和还是无理数 D. 有理数与数轴上的点一一对应 3. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 若，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 5. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 的平方根是_____． 8. 比较大小：_______．（填“>”、“”或“<”） 9. 已知数轴上两点A、B，对应的实数分别是和，则线段的长为_______． 10. 用科学记数法表示：_____． 11. 若，则_______． 12. 不等式的解集为_______． 13. 若的整数部分为的小数部分为，则的值为_______． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 15. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是_______． 16. 在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 17. 定义一种运算，对于对于满足的任意角和，已知，那么的值是_______． 18. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、简答题（本大题共7题，满分36分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程： 22. 解关于的方程：（是已知数）． 23. 已知最简二次根式和是同类二次根式，求的值． 24. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： 已知：，求的值； 25. 先化简，后求值：，其中，． 四、解答题（本大题共3题，满分28分） 26. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 27. 观察下列等式 ， ； ； …… 第（1）（2）问，请你直接写出以下计算结果： （1）请你猜测 ， ； （2）利用上述规律计算： （为整数）． （3）求的值． 28. 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值.对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为 ，此时 ． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为108的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点，的面积分别为9和5，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市西南模范初级中学2026--2027学年八年级上学期期中考试数学试卷 2026.11 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 一、选择题 1. 在实数（相邻两个6之间0的个数逐次增加）中，无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】先化简可开尽方的根式，再根据无理数定义统计个数． 【详解】解：，. 无理数为，，（相邻两个6之间0的个数逐次增加），共3个． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根与8的立方根相同 B. 对于实数，若，则 C. 两个无理数的和还是无理数 D. 有理数与数轴上的点一一对应 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：对于A，的平方根是，的立方根是，二者不相同，故A错误； 对于B，，当时，，即，故B正确； 对于C，两个无理数的和不一定是无理数，如与的和为，是有理数，故C错误； 对于D，实数与数轴上的点一一对应，故D错误． 3. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】先化为最简二次根式，然后判断被开方数是否一样，一样的话，则是同类二次根式． 【详解】解：A选项：，，被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，，被开方数不同，不是同类二次根式； C选项：，，被开方数不一定相同，不是同类二次根式； D选项：，，被开方数相同，是同类二次根式． 4. 若，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，将原式化为绝对值的和，分情况求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 原式， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 当时，， ∴ ，原式； 当时，， ∴ ，原式； 综上，原式的值为或． 5. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 把代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴，解得：． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即， ∴，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴能取到最大值． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可. 【详解】∵=3，3的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为. 【点睛】此题考查了立方根及平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 8. 比较大小：_______．（填“>”、“”或“<”） 【答案】 < 【解析】 【分析】借助中间值4分别判断与的大小关系，再根据两个负数比较大小的规则推导最终结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9. 已知数轴上两点A、B，对应的实数分别是和，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴上两点间的距离等于两点对应实数差的绝对值这一规则，代入对应实数计算线段的长度． 【详解】解：∵数轴上点A、B对应的实数分别是和， ∴线段的长 ， ∵， ∴． 10. 用科学记数法表示：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可得出答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故答案为：． 11. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此作答即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、合并同类项分离含的项与常数项，结合不等式的基本性质化简求解，注意不等号方向的变化规则； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原不等式的解集为． 13. 若的整数部分为的小数部分为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过夹逼法估算与的取值范围，分别确定整数部分和小数部分，再代入计算的值． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分， ∵，且，即， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为3，小数部分， ∴． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 15. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】小明看错系数说明常数项正确，可由他所得两根的乘积求；小红看错系数说明一次项系数正确，可由她所得两根的和求，再计算的值． 【详解】解：∵小明看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之积等于，即； ∵小红看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之和等于，即， ∴； ∴． 17. 定义一种运算，对于对于满足的任意角和，已知，那么的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的T的运算规则，将拆分为与的和代入公式计算，再将拆分为与的和代入公式求解，最后计算两者的乘积即可； 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴． 18. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三、简答题（本大题共7题，满分36分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，计算零指数幂的值，再合并同类二次根式即可； 【详解】解：原式 ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： 或 解得： 22. 解关于的方程：（是已知数）． 【答案】 【解析】 【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可． 【详解】解： ∴ ∴． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 23. 已知最简二次根式和是同类二次根式，求的值． 【答案】 的值为． 【解析】 【分析】据同类二次根式的定义，先由根指数为2得，再将第二个根式化为最简，由被开方数相同列方程，联立求解、后代入计算． 【详解】解：∵是二次根式，且与是同类二次根式， ∴两个根式的根指数均为2， 即， ∴， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴， 联立得方程组 解得 将，代入，得， 答：的值为． 24. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： 已知：，求的值； 【答案】 的值为9 【解析】 【分析】将看作整体，利用平方差公式转化方程，结合平方的非负性求解． 【详解】解：设， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得或， ∵，， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴． 25. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 四、解答题（本大题共3题，满分28分） 26. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 【答案】 (1)证明：根据题意得． ∵，来^&*源:中@教% ∴方程有两个不相等的实数根． (2) m=2或m=3． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程二次项系数不为0和一元二次方程根的判别式大于0求解即可. （2）求出方程的根，再根据根方程的 两个根都为正整数求得m的整数值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：△=4 ∴. ∵方程的两个根都是正整数，且，[ ∴是正整数. ∴或． ∴或3． 考点：1.一元二次方程的定义；2. 一元二次方程根的判别式；3.解一元二次方程. 27. 观察下列等式 ， ； ； …… 第（1）（2）问，请你直接写出以下计算结果： （1）请你猜测 ， ； （2）利用上述规律计算： （为整数）． （3）求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）被开方数利用完全平方公式变形，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先找出规律，再结合分母有理化化简即可； （3）先确定，然后设，再对等式两边同时平方求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， ， 【小问2详解】 解：针对上述各式显示的规律可得，， ∴ ， 【小问3详解】 解：由于 ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴． 28. 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值.对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为 ，此时 ． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为108的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点，的面积分别为9和5，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）， （2）所用的篱笆至少为米 （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，列式子，即可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，根据题意即可求解； （3）设,由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来，利用题中结论求其最小值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 当且仅当，等号成立， 解得（负数舍去）, 【小问2详解】 解：设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 当时，取等号， 解得（负数舍去）， 所以所用的篱笆至少为米； 【小问3详解】 解：设， 根据三角形面积公式可得， 的面积分别为9和5， ， ， ， ， 当时，取等号， 解得（负数舍去）， 所以四边形面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $