山西太原市部分学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026～2027学年第一学期九年级阶段学业诊断 数学 （考试时间：上午8:00—9:30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1．一元二次方程的根是 A．， B．， C．， D．， 2．美术课上，小思计划用一块原材料雕刻一枚印章，这块原材料可以看作是由圆柱和长方体组成的几何体，如图是它的示意图及俯视图，其左视图为 A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的两个根是，，则的值是 A． B． C． D． 4．如图，已知菱形，在对角线上取一点，使得，连接．若，则的度数为 A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 A． B． C． D． 6．摄影中常采用黄金分割构图法，用来突出画面主体．如图的摄影作品中，花朵的中心恰好是构图参考线的黄金分割点（），若的长为，则的长为 A． B． C． D． 7．如图，在中，点是的中点．将绕点旋转180°，得到，其中点的对应点为点．要使四边形成为矩形，则满足的条件是 A． B． C． D． 8．近年来，多地推进旧厂房改造，将老旧工业遗存打造为文旅打卡地．某厂房改造成的景点，今年4月份接待游客2万人次，6月份接待游客2.88万人次．设该景点这两个月接待游客量的月平均增长率为，则下面所列方程正确的是 A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将第三象限内的五角星放大，其中点的对应点为点．若点的坐标为，，则第三象限内点的坐标为 A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线相交于点，以对角线为一边，作矩形，使得矩形矩形．若，，则的长为 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11．将一元二次方程化成一般形式为 ▲ ． 12．如图，为了测量一段河道的宽度，位于河道一侧的小明先通过观察找到对面河岸上一个特别明显的标志点，然后在他所在的这一侧选点，，，使得于点，于点，再确定和的交点（图中各点都在同一水平面内）．现已测得，，为计算河道的宽，还需要测量线段 ▲ 的长度（写出一种即可）． 13．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．如图，正八边形内嵌于正方形，且点，，，分别为正方形各边中点，则的度数为 ▲ °． 14．如图，在中，，是边上的中线，将沿射线方向平移得到，其中点，，的对应点为点，，，当线段经过点时，线段交边于点，则的值为 ▲ ． 15．如图，在正方形中，，点是边延长线上一点，且，连接，点是线段的中点，线段交边于点，则的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16．（每小题4分，共8分）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17．（本题6分）如图，在梯形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕交于点．请判断四边形的形状，并证明你的结论． 18．（本题5分）晋祠宋代壁画是山西经典文化瑰宝．现有一幅矩形壁画临摹作品，长为，宽为，在临摹画四周外围加装宽度相等的仿古木框，制成一幅矩形挂图，加装完成后挂图整体面积为．求仿古木框的宽度． 19．（本题6分）小区门口有一盏垂直于地面的路灯，小睿运用所学的数学知识进行了如下实践活动： （1）如图，小睿在阳光下借助标杆测量路灯的高度，线段表示垂直于地面的标杆在地面上的影子．他测得，． ①请画出此刻路灯在阳光下的影子（用线段表示）； ②若此时路灯的影长，求路灯的高度； （2）夜晚开启该路灯，垂直于地面的标杆在该路灯下的影子为线段．在（1）中标杆长度及所得路灯高度不变的条件下，若与相等，则标杆底部到路灯底部的距离为 ▲ ． 20．（本题5分）阅读与思考 阅读材料： 如果关于的两个多项式相等，那么它们对应同类项的系数一定相等．我们利用这样的思路研究了一元二次方程根与系数的关系，该推导过程不需要借助求根公式． 问题解决： （1）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则． 请运用材料中的思路，求两根之和与两根之积（用含，的代数式表示）； （2）类比上述研究方法，已知，，是关于的一元三次方程的三个实数根，则，由此可得的值为 ▲ ． 21．（本题5分）项目学习小组计划在秋假期间开展文创用品义卖，将获得的利润捐给某公益项目．试销过程中发现，此次义卖中的一款化学元素周期表摆件，日平均销量为20件，每件可获得利润24元；在每件售价降幅不超过8元的情况下，每降价1元，则平均每天可多卖出2件． （1）若设这款摆件每件降价元，则日平均销量为 ▲ 件（用含的代数式表示）； （2）若项目学习小组销售此款摆件，平均每天能获得560元的利润，每件应降价多少元？ 22．（本题8分）综合与探究 下面是某数学小组研究笔记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 运用特殊化策略解决问题 特殊化是重要的问题解决策略：研究不确定、具有一般性的问题时，常常先选取特殊情形展开探究，便于形成猜想、发现结论、提炼思路，再推广到一般情形，最后运用得到的一般结论解决具体问题． 【问题提出】 如图1，在中，，，点是边上的一个动点，过点作的垂线，交线段于点．点在线段上，点在线段上，且于点． 设，线段，之间有怎样的数量关系？ 【探究过程】小颖先从特殊情形开始研究． 情形1：如图2，当时，点与点重合．她发现此时无论点的位置如何变化，都能得到与全等，则的值始终为定值． 情形2：如图3，当时，她发现的值也始终为定值！ …… 任务： （1）【特例分析】①图2中的值为 ▲ ； ②类比“情形1”的思路，借助图3，求当时，求的值； （2）【一般结论】直接写出线段，之间的数量关系（用含的等式表示）； （3）【结论应用】当，且时，线段的长为 ▲ ． 23．（本题12分）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．将其绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，，的对应点分别为点，，． 猜想证明：（1）如图1，当点落在线段的延长线上时，延长交于点，猜想四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）在旋转过程中，直线与直线交于点． ①如图2，当点落在边上时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，当，，三点共线时，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期九年级阶段学业诊断 数学参考答案与评分建议 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 2 个 8 9 10 答案 C B D A B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 3√73 11.x2-3x-6=012.BD或CD 13.22.514.415.8 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16.(本题2个小题，每小题4分，共8分) 解：(1)移项，得x2-2x=5. 配方，得(x-=6 …2分 两边开平方，得x-1=±V6 …3分 即x-1=V6或x-1=-V6 所以，￥=1+V6.x=1-6 …4分 (2)方程左边分解因式，得(x+1)(x+1-2)=0 2分 所以，x+1=0或x-1=0 …3分 所以，=-1，x3=1 …4分 17.(本题6分) 四边形ADCE是菱形. 1分 证明：由折叠可知，AD=CD,AE=CE,∠ADE=∠CDE …2分 ADlIBC. ∴.∠ADE=∠CED …3分 ∴.∠CDE=∠CED 4分 ∴.CD=CE, …5分 AD=CD=CE=AE」 四边形ADCE是菱形.…6分 18.(本题5分) 解：设仿古木框的宽度为xCm, …1分 根据题意，得(60+2xr(40+2x)=3500 …3分 解，得=5，=5（不合腿意，舍去）· …4分 答：仿古木框的宽度为5cm …5分 19.(本题6分) 解：(1)① 。。。。。。。 …1分 如图，线段BC即为所求. ②：ACMP,点C,B,P,N在同一直线上， .∠ACB=∠MPN.… 2分 :AB⊥CN,MN⊥CN, ∴.∠ABC=90°=∠MNP=90° 3分 .△ABC∽△MNP .AB_BC MN NP …4分 AB 6 MN=1.PN=1.5.BC=6. 11.5 解，得AB=4. 答：路灯AB的高度为4m. …5分 (2)3. 6分 20.(本题5分) 解：(1)由题意，得r+px+g=(-x)x-,)】 (x-x)(x-x2)=x2-xx-x2x+xx2=x2-(x+x2)x+xx2 …1分 ..x2+px+q=x2-(x+x2)x+xx2 …2分 p=-(+X）,9=XX2,…3分 .x1+x2=-p.Xx2=q …4分 1 (2)3 ……5分 21.(本题5分) 解：(1)20+2x 1分 (2)根据题意，得(24-x)(20+2x)=560, …2分 解，得=4。七3=10. …3分 .10>8. x=10不合题意，舍去. 4分 答：每件应该降价4元. …5分 22.(本题8分) 解： (1)①1.…1分 BD 1 ②当n=2时，CD2. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1, ∠B=∠C=1x90°=450 2 BC=AB+AC= BD+CD=BC. :BD=BC=V2 3. 2分 DE⊥BC, ∴.∠EDC=∠2+∠3=90° DF⊥DG, .∴∠FDG=∠1+∠3=90°. .∠1=∠2.…3分 :在Rt△BDE中，∠BDE=90°， ∠BED=90°-∠B=45°， .∠DEF=∠C, .△DEF∽△DCG」 EF DE CG DC..... …4分 ∠B=∠DEB, DE-BD= 3. 在Rt△BDE中， BE=BD+DE=2 EF BD 1 CG DC 2, :EF=1CG ,…5分 BF+ICG-BF+EF=BE-2 2 +cG= BF 2 即， 2 3 …6分 A E F (2) BF+CG=2 1 n +1 …7分 (3)3 …8分 23.(本题12分) 解：(1)四边形CDHE是正方形.… …1分 理由如下： ,四边形ABCD和四边形CEFG是矩形， .∠ADC=∠BCD=90°，∠E=90°，…2分 .∠CDH=180°-∠ADC=90°， ∴.∠DCE=180°-∠BCD=90°. 四边形CDHE是矩形. …3分 由旋转可得，CD=CE 矩形CDHE是正方形. 4分 (2)①PB=PE.理由如下：… …5分 连接BG,过点B作BM⊥CG于点M, 则∠BMP=90° …6分 :四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD.AD/BC,∠A=∠BCD=90°. .∠AGB=∠CBG,BA⊥AG.…7分 由旋转得，CD=CE,BC=GC,∠GCE=∠BCD=90°， ∴，AB=CE.∠BMP=∠ECP=90° ..BC=GC, .∠CGB=∠CBG, .∠AGB=∠CGB」 .BA=BM, …8分 ∴BM=CE .'∠BMP=∠ECP,∠BPM=∠EPC. ∴.△BMP≌△ECP」 PB=PE.… …9分 G 4 ②9或4 。。。。。。。。。。。。。 …12分 评分说明：只写出一个正确答案得2分，全部正确得3分. 【说明】以上解答题的其他解法，请参照此评分标准。