精品解析：贵州铜仁市思南中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年高一上学期数学半期考试 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 考查范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数与不等式、函数的概念与性质 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由交集的定义，等价于且，即. 因此. 2. 命题， 的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 命题， 的否定为， ． 3. 设 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】首先将转化为，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 5. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】A 中 的定义域为 ，与 的定义域为， 不同； B 中 ，与 的对应关系不同； C 中 与 对应关系不同； D 中 ，定义域均为且对应关系均相同． 6. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，故的定义域关于原点对称. 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除C、D. 因为，所以图象在处位于轴上方，排除B. 故A正确. 7. 已知是上的增函数，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足三个条件： ①为增函数，则，即； ②第二段在上递增； ③分界处左段不超过右段：，即，解得， 综上：. 8. 已知两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可以得到，再利用基本不等式中乘1方法得到最小值，再将不等式有解转化为求解一元二次不等式即可. 【详解】∵，∴， 又均为正数， 则 ， 当且仅当，又， 即时，等号成立，此时有最小值4， 又∵不等式有解，∴， 解得或，故D正确，排除A，B，C. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式性质求解. 【详解】A 选项，同向不等式不能相减，取，，，，则 ，所以A 选项错误； B 选项， 由 得 ，由 得 ，故 ，所以B 选项正确． C 选项， 且 只能推出 ；当 时 与 的大小关系不确定，例如取 ，，，则 ，所以C 选项错误． D 选项， 时 ，由 两边同除以 得 ，所以D 选项正确. 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式 的解集为 D. 不等式 的解集为 【答案】AC 【解析】 【详解】由解集为 知，且、是方程的两根， 设，即，， 可知，所以A正确； 可知，所以B错误； 可知， 因为，得，即，解得或，所以C正确，D错误. 11. 已知狄利克雷函数，则下列说法正确的是（） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意，都有 【答案】BC 【解析】 【分析】利用狄利克雷函数性质逐项计算并判断即可得. 【详解】因为是无理数，所以，A错误； 因为的取值只能是或，二者都是有理数，所以，B正确； 对任意，与同为有理数或同为无理数， 故，故为偶函数，C正确； 取，则，而，D错误． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 函数 的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义,需同时满足且. 由得;由得. 由此得且,即或. 所以函数的定义域为. 13. 已知幂函数 在上单调递减，则实数的值为______ 【答案】 【解析】 【详解】由幂函数的定义,系数必须为,即. 由得,解得或. 又在上单调递减,故指数,即. 结合,得. 14. ，用 表示 ， 中的最小者，记为 ．给定函数 ， ，若 ，都有 ，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把“对任意都有”转化为“不存在使与同时为正”,结合化归为在上恒成立;再按对称轴与区间的位置关系分类,分别用单调性、顶点处的最大值列出关于的不等式求解. 【详解】对任意,即与中至少有一个成立,等价于不存在实数同时满足与. 由得,故题设条件等价于:对任意,都有. 的图象是开口向下的抛物线,对称轴为. 当,即时,在上单调递减,只需,即,与取交集得. 当,即时,在处取得最大值,只需. 整理得,解得,与取交集得. 所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集的定义求解. （2）由给定交集的结果，利用集合的包含关系，按是否为空集分类求解. 【小问1详解】 时，，又， 所以. 【小问2详解】 由，得， 当时，，解得，符合题意； 当 时，须 ，解得， ，所以的取值范围为. 16. 已知. （1）求的最小值 ， （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可； （2）根据恒成立可得：，进而通过解绝对值不等式求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. 【小问2详解】 若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． （1）求函数 的解析式； （2）用定义证明函数 在 上单调递增； （3）解不等式 ． 【答案】（1）； （2）任取，则 因为，所以，且等号只在或时出现， 与矛盾，故，即；又 ，分母为正，故，即 所以在上单调递增． （3）. 【解析】 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，且，所以，即，得（此时 ）． 又，得此时 ，且，符合题意． 故 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数，所以化为 由在上单调递增，得，解得， 取交集得. 18. 经过市场调查，生产某种LED灯需投入的年固定成本为万元，每生产（万件）该产品，需另投入变动成本（万元），且，每件产品的售价为元，该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 变动成本） （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为7万件时，年利润最大，最大值为万元 【解析】 【小问1详解】 年销售收入为万元，故 当时， ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时， ，当时，年利润最大，最大值为万元． 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时万元． 因为，所以当年产量为万件时年利润最大，最大年利润为万元． 19. 给定函数 ，定义集合 （1）若 ，求 ； （2）若 ，，求 与 ； （3）证明：；并判断若 ，是否一定有 ？说明理由． 【答案】（1），； （2），； （3） 任取，则，从而，则，所以 若，则一定有，理由如下： 记，由，得无实根， 即于是； 又， 而， 因此， 方程的判别式， 则方程无实根，又无实根， 从而无实根，所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用韦达定理求出. （2）把代入，解方程求出及. （3）利用集合包含关系的定义推理证明；判断并利用一元二次方程根的判别式推理即可. 【小问1详解】 由，知是方程，即的两根， 由韦达定理得，所以，. 【小问2详解】 当，时，， 由，得，解得，因此； 由，得， 整理得，即， 则，即， 解得或或，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高一上学期数学半期考试 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 考查范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数与不等式、函数的概念与性质 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题， 的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是上的增函数，则的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 已知两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式 的解集为 D. 不等式 的解集为 11. 已知狄利克雷函数，则下列说法正确的是（） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意，都有 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 函数 的定义域为______． 13. 已知幂函数 在上单调递减，则实数的值为______ 14. ，用 表示 ， 中的最小者，记为 ．给定函数 ， ，若 ，都有 ，则 的取值范围是______． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知. （1）求的最小值 ， （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． （1）求函数 的解析式； （2）用定义证明函数 在 上单调递增； （3）解不等式 ． 18. 经过市场调查，生产某种LED灯需投入的年固定成本为万元，每生产（万件）该产品，需另投入变动成本（万元），且，每件产品的售价为元，该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 变动成本） （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 给定函数 ，定义集合 （1）若 ，求 ； （2）若 ，，求 与 ； （3）证明：；并判断若 ，是否一定有 ？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $