精品解析：甘肃省兰州第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

兰州一中2026-2027-1学期期中考试试题 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间150分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 56 2. 已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 5. 已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与圆相交 B. 若点为圆上一点，则的最小值为0 C. 圆与圆相离； D. 过点作圆的切线，则切线长为. 10. 已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B. 若，则的值为 C. 若，，则 D. 若，则 11. 兰州一中数学文化节上，老师设计了一组“数学灯笼”装置．该装置平面设计图中，每个灯笼对应一个圆．已知点．第一个灯笼的圆心为点，且经过点．后续灯笼按如下规则制造：过原点作的切线，切点为；过作轴的垂线，垂足为；以为圆心、经过点的圆即为下一个灯笼．按此规则生成的圆列称为“灯笼列”．记，则下列说法正确的是（ ） A. “灯笼列”的公切线方程为 B. 直线与“灯笼列”中各圆均相交的充要条件是 C. 数列的通项公式为 D. 记的面积为，则数列的前项和 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 两平行直线与之间的距离为________． 13. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则__________． 14. 若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线：． （1）已知直线：，且，求的值； （2）若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值． 16. 若等差数列的前项和为，数列是等比数列，并且，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知圆心为的圆过，两点，且圆心在直线：上． （1）求此圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程． 18. 已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2026-2027-1学期期中考试试题 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间150分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，，解得， 则. 2. 已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则直线分别为和, 直线的斜率，直线的斜率, 因为，所以, 因此，“”是两直线垂直的充分条件； 若直线与直线 相互垂直， 则，解得， 因此，“”也是两直线垂直的必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线相互垂直”的充分必要条件. 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 5. 已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，根据过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直，求出直线斜率后即可推导直线方程 【详解】由，配方可得， 因此圆心的坐标为，半径， 设点，代入圆的方程左侧得，故在圆内部， 根据圆的几何性质，过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直， 又，由两条垂直直线的斜率乘积为，可得所求最短弦所在直线的斜率， 所以 过点且斜率为的直线方程为，整理得. 6. 已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由对称性得到的圆心，再根据圆与圆的位置关系确定公切线条数即可． 【详解】设点A关于直线l的对称点， ，解得， 则的圆心为，半径为2， ，圆心为，半径为， 圆与圆的圆心距， 又， 所以圆与圆外切， 则圆与圆的公切线条数为． 7. 已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】因直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，可设其方程为，即， 则，满足，即，解得或， 即或，又因， 由正切函数的图象性质，可得的取值范围是． 8. 过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线经过定点，结合条件求出动点的轨迹方程为，设的中点为，化简目标式为，判断动点的轨迹为直线，利用圆心到直线的距离为圆心到直线上点距离的最小值即可求得的最小值即可. 【详解】即， 由解得，则直线经过定点， 又因，则，故点的轨迹为以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则点的轨迹方程为. 因点，分别是直线：和直线：上的动点， 设的中点为，则，则， 易知动点的轨迹为与直线平行且距离相等的直线，其方程为， 因圆心到直线的距离，则， 故的最小值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与圆相交 B. 若点为圆上一点，则的最小值为0 C. 圆与圆相离； D. 过点作圆的切线，则切线长为. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系及切线长公式逐一来分析即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心为到直线的距离为， 故直线与圆相离，故A错误， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设，则，即， 当直线与圆相切时，有，解得或， 故的最小值为0，故B正确， 圆的圆心坐标为，半径为， 圆心之间的距离为，又， 即圆心之间的距离等于两圆的半径和，故两圆外切，故C错误， ，根据切线长公式，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B. 若，则的值为 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合等差数列的基本特征和等差数列的前项和的性质逐个分析选项即可. 【详解】对于A，设的公差为，因是递增数列，故， 前项和，则，相邻两项差为，因此是递增数列，故A正确； 对于B，根据等差数列的前项和性质，是等差数列， 所以，由，可知，故B错误； 对于C，两个等差数列的和仍为等差数列，故是等差数列， 由于是和的等差中项，因此，得，故C正确； 对于D，等差数列中，故，同理，因此，故D正确. 11. 兰州一中数学文化节上，老师设计了一组“数学灯笼”装置．该装置平面设计图中，每个灯笼对应一个圆．已知点．第一个灯笼的圆心为点，且经过点．后续灯笼按如下规则制造：过原点作的切线，切点为；过作轴的垂线，垂足为；以为圆心、经过点的圆即为下一个灯笼．按此规则生成的圆列称为“灯笼列”．记，则下列说法正确的是（ ） A. “灯笼列”的公切线方程为 B. 直线与“灯笼列”中各圆均相交的充要条件是 C. 数列的通项公式为 D. 记的面积为，则数列的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于C，先根据切线的性质，利用勾股定理，得到的递推关系式，再利用递推关系式求出的通项公式，即可判断对错；对于A，求出圆心到直线的距离，比较其和半径的大小关系，即可判断对错；对于B，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆相交列出不等式，即可判断对错；对于D，根据圆的面积公式求出的通项公式，根据通项公式写出前项和，利用不等式的放缩即可判断对错. 【详解】对于C，已知，圆过点，所以圆的半径， 连接，由切线的性质可知， 在中：， 在轴上的垂足为， 易知，所以，所以， 代入得：，整理得：， 两边同时取倒数得：，， 即，当时， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以，故C正确； 所以圆心，半径， 对于A，圆心到直线的距离为：， 即直线到每个圆的圆心距离都等于对应圆的半径， 所以所有圆都与直线相切于点， 所以是“灯笼列”的公切线，故A正确； 对于B，直线即， 圆心到直线的距离为：， 因为直线与圆相交，所以，即， 即 当趋向于无穷大时，左边趋向于无穷大，右边为常数， 所以不存在非零满足对所有正整数成立，故B错误； 对于D，圆的面积，前项和为：， 因为， 所以， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先统一两条平行直线的系数，再代入两平行线间的距离公式求解. 【详解】首先将直线两边同乘2，得到与系数一致的平行直线方程. 根据两平行直线的距离公式得. 13. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，，， ，， 所以 14. 若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数和的图象有两个不同的交点，作出图形，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】由关于的方程有两个不同实数解， 可得函数和函数的图象有两个不同的交点， 由，得， 所以表示以为圆心，为半径的圆的上半圆（含端点）. 是过定点的直线， 在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示： 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 由函数和的图象有两个不同的交点，可得或， 所以实数的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线：． （1）已知直线：，且，求的值； （2）若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【小问1详解】 由题意得且， 解得； 【小问2详解】 当时，直线方程为，不满足在两坐标轴上的截距为相反数， 当，即时，直线方程为，不满足两坐标轴上的截距为相反数， 当且时，中，令得， 令得， 故，解得或. 16. 若等差数列的前项和为，数列是等比数列，并且，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式、等比数列通项公式可构造方程组求得公差和公比，由此可得通项公式； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 由题意可设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由得：，解得：（舍）或， ，. 【小问2详解】 由（1）得：， . 17. 已知圆心为的圆过，两点，且圆心在直线：上． （1）求此圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）圆的方程为； （2）直线的方程为或。 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质，圆心为弦AB的垂直平分线与已知直线的交点，求出圆心与半径即可得到圆的标准方程；（2）通过弦长公式求得圆心到直线的距离，分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式求解直线方程. 【小问1详解】 ∵，， 线段的中点为，直线的斜率，线段的中垂线的斜率为，从而线段的中垂线的方程为，即. 联立，解得圆心. ∴圆的半径，故此圆的方程为. 【小问2详解】 由可得弦心距. 当直线的斜率不存在时，即其方程为，圆心到直线的距离为，符合题意. 当直线的斜率存在时，设方程为，即，则圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. 18. 已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式； （2）由（1）可得，利用错误相减法分析求解； （3）由（1）可得：，根据数列的单调性可得的最大值为，结合题意可得恒成立，利用基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，则，可得； 当时，则，可得， 整理得，即， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以； 数列满足，点在直线上，则， 可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则，① ，② ①②得 ， 整理得. 【小问3详解】 由（1）可得：， 则， 可知数列为单调递减数列，所以，即的最大值为. 因为对所有的正整数都有都成立，则， 又因为，可得恒成立，只需满足即可. 且，当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $