精品解析：甘肃天水市甘谷第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

甘谷一中2026-2027学年高二级第一学期期中考试试卷 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 3. 已知直线，.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 在正项等比数列中，若，，则（　　） A. 31 B. C. 63 D. 5. 已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆关于直线对称的圆的方程是，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知首项为正数的数列为等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得直线与圆相切 B. 当时，直线被圆截得的弦长为 C. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 11. 在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线与间的距离为______． 13. 设为等差数列的前n项和，已知，当或5时，取得最值，则的公差______________． 14. 已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线的方程. （1）经过两条直线和的交点，且垂直于直线； （2）平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 16. 已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前n项和. 17. 已知数列满足：，，，设． （1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）设，求数列前项和． 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； （3）圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘谷一中2026-2027学年高二级第一学期期中考试试卷 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与倾斜角的关系求角的大小. 【详解】由题设，结合斜率和倾斜角的关系，可得直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由前项和以及等差中项的性质可知，进而求公差即可. 【详解】记等差数列的公差为，依题意，，故，则. 故选：B. 3. 已知直线，.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件. 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在正项等比数列中，若，，则（　　） A. 31 B. C. 63 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由，，以及等比数列的通项公式可求得，，再根据等比数列的前项和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由，，得，， 所以，， 所以，因为，所以，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的运算，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题. 5. 已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得，即可确定l的斜率，即可求得直线l的点斜式方程，化为一般式，即得答案. 【详解】由题意知，，则， 则，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：A 6. 若圆关于直线对称的圆的方程是，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程用标准方程表示，确定两圆的圆心坐标，利用两圆半径相等以及连心线的垂直平分线为直线上可求出实数的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 圆的标准方程为，圆心坐标为， 两圆圆心连线所在直线的斜率为，中点坐标为， 由题意可得，解得. 7. 各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用等比数列性质计算结合基本不等式计算求解即可. 【详解】正数等比数列中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 又因为，设公比为，所以，所以. 则取最小值时，. 8. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知首项为正数的数列为等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质化简，然后结合已知条件即可得到，再由等差数列的求和公式代入计算，即可判断. 【详解】因为， ， 由可得，即， 若数列公差，且首项为正数，则所有项均为正数，所以， 与条件矛盾，因此，所以， 由可知， 若，则，此时，则，与条件矛盾； 若，则，即，符合条件， 所以等差数列的公差，且，故BD正确； ，故A正确； ，故C错误. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得直线与圆相切 B. 当时，直线被圆截得的弦长为 C. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再结合各选项一一判断即可. 【详解】圆，即， 所以圆心，半径； 对于A：圆心到直线的距离， 令，解得或， 所以当或时直线与圆相切，故A正确； 对于B：当时，则直线被圆截得的弦长为，故B错误； 对于C：当时，即圆心到直线的距离为，又圆的半径， 所以圆上到直线的距离为的点有个，故C正确； 对于D：若直线与圆相交，则，解得， 即实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 11. 在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知，，即可判断AB；根据周期性计算分析判断CD. 【详解】对于选项A：由题可知，对任意的，， 则对任意的，， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 由选项A可知：，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线的方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 13. 设为等差数列的前n项和，已知，当或5时，取得最值，则的公差______________． 【答案】3 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 因为当或5时，取得最值，所以，所以，即 又，所以，解得. 14. 已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线的方程. （1）经过两条直线和的交点，且垂直于直线； （2）平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程解方程组可得直线交点，由垂直关系可得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程； （2）由平行关系可设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，求解可得方程． 【小问1详解】 ，交点. 的斜率为，所以直线的斜率. 从而直线的方程为，即. 【小问2详解】 设直线的方程为. 两平行线间距离为，所以，解得或. 所以直线的方程为或. 16. 已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）（） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . 【小问2详解】 由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 17. 已知数列满足：，，，设． （1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）设，求数列前项和． 【答案】（1），故，即， 所以数列为等差数列，公差为1，首项， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，证明出为等差数列，求出首项，得到通项公式； （2）在（1）的基础上，利用累加法得到的通项公式，并裂项得到，进而求和即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 则 ， 而也符号上式，故, ， 所以 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； （3）圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）是，定值为 【解析】 【分析】（1）结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解； （3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆的方程，计算得结论． 【小问1详解】 因为圆经过点和，又易知中点，， 所以的中垂线方程为，即， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心， 又圆的半径，所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设直线， 由（1）知圆为， 因为直线与圆相切，则，整理得到，此时直线， 当直线斜率不存在时，直线，满足题意， 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以关于直线的对称点为，而圆关于直线的对称圆是圆， 所以圆的方程为， 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、， 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为， 在方程中，令得，即， 在方程中，令得，即， 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，利用点斜式表示出直线直线和，进而求得，再结合圆方程进行求解即可. 19. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 【答案】（1）由，得， 则，即， 又， 所以，是首项和公比均为的等比数列 （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）只要证为常数即可； （2）由（i）知，分组求和即可； （ii）由，得，所以．设，利用作差法，判断出数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）得， 则． 则 令， 相减可得， 整理得， 故． （ii）由，得， 所以．设， 则． 当时，；当时，；当时，， 可得； 故当或4时，有最大值为， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $