精品解析：湖南张家界市永定区2026-2027学年八年级上学期期中教学质量监测数学试题

永定区2026年秋季学期八年级期中教学质量监测试卷数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：、是单项式乘以多项式运算，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、是因式分解，故该选项正确，符合题意； 、左右两边不相等，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、不是因式分解，故该选项错误，不符合题意． 2. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 6. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 7. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：D． 8. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 二、填空题（共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 12. 若分式的值为0，则x的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件. 先求解分子为0的所有可能x值. 再排除使分母为0的取值即可得到最终结果. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需同时满足分子的值为0，且分母的值不为0； 令分子，解得或； ∵分式的分母不能为0， ∴，即； ∴舍去的取值， 最终符合要求的的值为2. 13. 化简：的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算． 【详解】解： 原式 故答案为：． 14. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 16. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公因式法和公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减即可得到答案； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】将方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程求解，求出的值后再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 将方程右边分母变号，得， 方程两边同时乘以，得 整理，得， 解得， 检验：当时，， 为原方程的增根，原方程无解． 【小问2详解】 解：， ， 方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 21. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 22. 按要求完成下列各题： （1）填空：___________；___________； （2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：． 【答案】（1）5；5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）根据数轴得出，且，再根据二次根式性质进行化简即可． 【小问1详解】 解：；； 【小问2详解】 解：由数轴得：，且， ∴，， ∴ ． 23. 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料 （2）A型机器人至少要搬运400千克原料． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合工作时间不能超过4小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运千克原料， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料； 【小问2详解】 设A型机器人要搬运千克原料， 由题意得： 解得： 答：A型机器人至少要搬运400千克原料． 24. 定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】（1）是 （2）①；② 1​, 3​ 或 4​ 【解析】 【分析】分析 ​​（1）计算  和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【小问1详解】 解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； 【小问2详解】 ​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2026年秋季学期八年级期中教学质量监测试卷数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 8. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（共18分） 11. 因式分解：______． 12. 若分式的值为0，则x的值是__________． 13. 化简：的结果为______． 14. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 15. 已知是方程的解，则的值是____________． 16. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 计算： （1）； （2） 20. 解分式方程： （1） （2） 21. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 22. 按要求完成下列各题： （1）填空：___________；___________； （2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：． 23. 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？ 24. 定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $