精品解析：湖南省张家界市永定区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

永定区2025年秋季学期八年级期中教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 4. 将化为小数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. a3-a2=a B. a2·a=a3 C. （a2）3=a5 D. a6÷a2=a3 6. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 8. 某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 化简的结果为________． 13. 若分式的值为零，则x的值是______． 14. 计算： __________． 15. 关于分式方程无解，则的值为________． 16. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 17. 若，则的值是______． 18. 对于x＞0，规定，例如，那么=_________ 三、解答题（共66分） 19. 分解因式： （1） （2） （3）； （4）． 20. 计算： （1） （2） 21. 解下列分式方程： （1）； （2）． 22. 计算： （1）； （2）． 23. 先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 24. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示， （1） 0， 0， 0；（在横线上填“”或“”） （2）化简． 25. 猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元． （1）求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ （2）该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 26. 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2025年秋季学期八年级期中教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没有把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误； C、因式分解的对象是多项式，而是单项式，故C错误； D、是因式分解，故D正确； 故选：D． 2. 下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得出答案． 此题考查了最简公分母，解题的关键是要掌握确定最简公分母的方法． 【详解】解：分式的最简公分母是：， 故选：C． 4. 将化为小数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查将用科学记数法表示的数化为原数；对于，当是负整数时，把的小数点向左移动位，位数不够时，用0补足即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. a3-a2=a B. a2·a=a3 C. （a2）3=a5 D. a6÷a2=a3 【答案】B 【解析】 【详解】A．a3与-a2无法合并，故此选项不合题意； B．a2·a=a3，故此选项符合题意； C．（a2）3=a6，故此选项不合题意； D．a6÷a2=a4，故此选项不合题意． 6. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义是解题的关键． 根据分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值可得增根为，再将分式方程化成整式方程并把得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母，解得，即增根为3， 方程两边同乘，得， 把代入可得：，解得：． 故选C． 7. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 先计算零指数幂，负整数指数幂，然后计算乘法即可． 【详解】解：． 故选：B． 8. 某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据大巴车比小车多用时小时列方程即可． 【详解】解：大巴车用时小时，自驾小车用时小时，大巴车比小车多用时小时，所以可列方程． 故选：A． 9. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简、四则运算法则、完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键．根据以上知识点，分别对各选项进行计算和判断，即可求解． 【详解】A、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； B、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； C、，本选项计算正确，故本选项符合题意； D、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 10. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，，因此选项A不符合题意； B．是最简二次根式，因此选项B符合题意； C．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，因此选项C不符合题意； D．，被开方数中含有能开得尽方的因数，因此选项D不符合题意． 故选：B． 二、填空题（共24分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 化简的结果为________． 【答案】－1 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，掌握分式加减法则是关键；观察分母和互为相反数，通过变形将第二个分数化为同分母后相加即可． 【详解】解：； 故答案为 ． 13. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 14. 计算： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 关于分式方程无解，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 16. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，所以让的被开方数等于的被开方数，进而求解． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得． 故答案为：． 17. 若，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】先将已知条件进行化简，然后将所求的分式进行变形，代入已知关系即可求解． 【详解】解：①由已知条件得出与的关系： ∵,通分可得， ∴． ②将所求式子化简求值： 把代入，将分子和分母分别整理： 分子变为：． 分母变为：． 将代入整理后的分子和分母： 分子变为：． 分母变为：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是根据已知条件得出与的关系，再利用整体代入思想化简求值． 18. 对于x＞0，规定，例如，那么=_________ 【答案】2018 【解析】 【分析】根据f（x）求出f（），进而得到f（x）+f（）=1，原式结合后，计算即可求出值. 【详解】解：∵x＞0，规定， ∴，即， 则原式=， 故答案为2018. 【点睛】此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 三、解答题（共66分） 19. 分解因式： （1） （2） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算、整式的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则、单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值的运算法则计算，再作加减法； （2）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，再合并． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）去分母化为整式方程、解整式方程、再检验整式方程的解是否为增根，即可解答； （2）去分母化为整式方程、解整式方程、再检验整式方程的解是否为增根，即可解答． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是分式方程的增根， 原分式方程无解． 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； （2）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 23. 先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的有意义和相关运算法则．直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则要满足且， ， 当时，原式． 24. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示， （1） 0， 0， 0；（在横线上填“”或“”） （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：根据数轴得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ． 25. 猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元． （1）求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ （2）该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【答案】（1）第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克 （2）第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握二元一次方程组和分式方程的应用是解题的关键， （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可得到答案； （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克，根据题意得： ， 解得：， 答：第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克． 【小问2详解】 解：设第二周黄心猕猴桃的进价为元，则红心猕猴桃的进价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验是所列方程的解， 答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元． 26. 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】（1）①真；②x，； （2），或或或 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【小问1详解】 ①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； 【小问2详解】 解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $