精品解析：广西来宾市合山高级中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试高一数学 满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列关系中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】为自然数集，-1不是自然数，①错误；为整数集，0是整数，②正确；为有理数集，是无理数，故，③正确；为实数集，是实数，④正确.综上，正确的有②③④，共3个. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 4. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由韦恩图可知阴影部分为，， 故. 5. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A：由得，A错；B：，故，B正确；C：，故，C错；D：时，D错. 6. 关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由且，分离参数得， 因，则，当且仅当时取等号， 故． 7. 在实数集中定义一种运算“*”，具有下列性质：①对任意，；②对任意，；③对任意，.则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则令，得，再求得，然后结合二次函数的性质求最值即可． 【详解】在③中令，得， 于是， 在上，当时取最小值； 当时取最大值2.故值域为． 8. 若定义在区间上的函数满足：对任意，当时都有，且当时.记的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. 2024 B. 0 C. 4048 D. 1012 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据条件推得，利用函数的奇偶性定义与单调性定义证明为奇函数，且在上单调递减，即得在上单调递减，利用为奇函数得，代入即可求出目标式的值. 【详解】设，则任意，当时， . 若取，可得，即； 若取，则得，即函数为奇函数； 设，记，则，由题意，，则， 由，可得， 故函数在上单调递减，从而可知在上单调递减. 又因的最大值、最小值分别为， 则，， 因，为奇函数，则， 故. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，，故A正确； 对于B，是无理数，，故B错误； 对于C，整数集是有理数集的子集，，故C正确； 对于D，空集不含任何元素，，故D错误． 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：，正确； B：因为，所以， ，，故，正确； C：因为，所以，C错； D：由且，得，正确. 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足：①，；②，时；③.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题知为偶函数，且在上单调递增，结合奇偶性和单调性的性质逐一判断即可. 【详解】由①知为偶函数；由②知在上单调递增. 选项A：，A正确； 选项B：，得，B错误； 选项C：即或， 由及在上单调递增，得，. 解得或，即或，C正确； 选项D：在上连续、为偶函数且在上单调递增，故，取即可，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一元二次不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由得，， 抛物线开口向上，故的解集为两根之外，即. 13. 函数的定义域是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，且分母不为零，列出不等式，求解即可. 【详解】要使得函数有意义，则，解得，也即. 故的定义域为. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的单调递增区间是_______. 【答案】和 【解析】 【详解】当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 综上，的单调递增区间为和. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集，并集以及补集的定义即可求解. （2）讨论和两情况，结合子集的定义列不等式即可求解的取值范围. 【小问1详解】 ∵，， ∴，， ∴. 【小问2详解】 当时，，即，满足； 当时，，得. 综上，. 16. 已知函数. （1）试证明函数在上单调递减； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1）任取，且，则 ， ∵，∴，，， ∴，即，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）定义法证明函数的单调性； （2）先分析在上的单调性，再求各单调区间的端点值，最后写值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，且，同（1），， ∵，∴，，， ∴，即，在上单调递增. 再结合（1）可知在上单调递减，上单调递增， 又∵，，，∴的值域为. 17. 已知幂函数的图象经过点. （1）试求的值，并写出该函数的解析式； （2）试求满足的实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标即可得到值和解析式； （2）根据函数单调性和定义域得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 ∵图象过点，∴，∴， 即，解得或. 又，∴，. 【小问2详解】 在上单调递增， 故等价于，即，解得. 18. 某手机初始剩余电量为，先边充电边使用.设使用小时后剩余电量为y（%），经拟合得. （1）手机剩余电量在第几小时达到最高？最高电量能维持多少小时？ （2）比较使用2小时、8小时、14小时后剩余电量的大小； （3）某导航软件要求手机剩余电量不低于40%才能持续运行，且需要连续运行4小时.问：手机从初始状态开始，最早第几小时开始启动该导航，才能保证它连续运行4小时不断电？说明理由. 【答案】（1）第小时剩余电量达到最高,最高电量为48%,最高电量能维持小时(从第小时到第小时). （2）使用小时后剩余电量最多,使用小时后次之,使用小时后最少. （3）最早从第小时开始启动该导航,能保证它连续运行小时不断电. 【解析】 【分析】（1）分段求出每一段上的最大值,再比较得到整个使用过程中的最高电量,并读出最高电量持续的时间段. （2）先判断各时刻落在哪一段,再代入该段对应的解析式求函数值,最后比较大小. （3）把剩余电量不低于40%转化为分段不等式,逐段求解后取并集,再由满足条件的时长与小时比较确定启动时间. 【小问1详解】 当时,,所以当时取得最大值. 当时,,保持最高电量不变. 当时,随的增大而减小,其值小于. 当时,. 比较各段可知,第小时剩余电量达到最高48%,并且从第小时到第小时始终保持这一电量,共维持小时. 【小问2详解】 因为,代入第一段解析式得. 因为,代入第三段解析式得. 因为,代入第四段解析式得. 由得,即使用小时后剩余电量最多,使用小时后次之,使用小时后最少. 【小问3详解】 导航要求手机剩余电量不低于40%,即要求,按所在的区间分段求解. 当时,由得,解得.结合,此时. 当时,,这一时间段全部满足要求. 当时,由解得,结合得. 当时,,不满足要求. 所以剩余电量不低于40%的时间段为,共小时,大于小时. 因此最早从第小时开始启动该导航,能保证它连续运行小时不断电. 19. 已知函数的定义域为，对定义域内任意实数x，y恒有，且当时. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）已知，解不等式. 【答案】（1）为偶函数，理由如下： 的定义域关于原点对称. 在恒等式中： 令，得，∴； 令，得，∴； ，令，得， ∴为偶函数. （2）任取，且，则， ， ∵，∴，即，， 故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）对恒等式巧妙赋值，可得，，进而证明恒成立； （2）定义法证明函数的单调性，利用恒等式将化成以判断正负； （3）利用函数的单调性和奇偶性解函数值不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵偶函数在上单调递增，∴在上单调递减且. 要使，则，或， 解得或，或， 原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试高一数学 满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列关系中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在实数集中定义一种运算“*”，具有下列性质：①对任意，；②对任意，；③对任意，.则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在区间上的函数满足：对任意，当时都有，且当时.记的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. 2024 B. 0 C. 4048 D. 1012 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足：①，；②，时；③.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一元二次不等式的解集为_______. 13. 函数的定义域是_______. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的单调递增区间是_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）试证明函数在上单调递减； （2）求函数在上的值域. 17. 已知幂函数的图象经过点. （1）试求的值，并写出该函数的解析式； （2）试求满足的实数的取值范围. 18. 某手机初始剩余电量为，先边充电边使用.设使用小时后剩余电量为y（%），经拟合得. （1）手机剩余电量在第几小时达到最高？最高电量能维持多少小时？ （2）比较使用2小时、8小时、14小时后剩余电量的大小； （3）某导航软件要求手机剩余电量不低于40%才能持续运行，且需要连续运行4小时.问：手机从初始状态开始，最早第几小时开始启动该导航，才能保证它连续运行4小时不断电？说明理由. 19. 已知函数的定义域为，对定义域内任意实数x，y恒有，且当时. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）已知，解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $